随机变量及其分布函数

随机变量

在样本空间$\Omega$上的实值函数$X=X(\omega ),\omega \in \Omega$,称$X(\omega )$为随机变量，简记$X$。

分布函数

$F(x)=P(X\le x)$即F(x)的值为 X 在(−∞, x]内取值的概率.

分布函数的性质

概率计算

$F(x-0)=P(X<x)$

离散型随机变量和连续型随机变量

离散型随机变量

定义

X可能取值是有限多个或可数无穷多个。

概率分布

分布律性质

连续型随机变量

定义

如果对随机变量$X$的分布函数$F(x)$，存在一个非负可积的函数$f(x)$，使得对任意实数$x$，都有

$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt,-\infty <x<+\infty$$
称$X$为连续型随机变量，函数$f(x)$称为$X$的概率密度。

概率密度的性质

常用分布

离散型随机变量

泊松定理

在伯努利试验中，$p_n$代表事件A在实验中出现的概率，它与实验总数n有关，如果$\underset{n\to +\infty }{\lim }n{p}_n=\lambda$,则
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{C}_n^k{p}_n^k(1-p_n{)}^{n-k}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$$
应用泊松定理的要求：
n较大，p较小，np不太大。

连续型随机变量（均匀、指数）

正态分布

随机变量函数的分布

离散型

$P(X=x_k)=p_k,k=1,2,...$

连续型