一、有界性定理

函数的上界和下界的绝对值不一定相等。

函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；

要证明f(x)在X上有界，必须找到一个M>0，使任意x属于X都有 |f(x)|<=M；要证明f(x)在X上无界，只需要找到一个数列{xn}存在于X,使f(xn) n趋于∞，f(xn)趋于∞

外界函数有界，复合函数必有界。

函数有界，从几何意义看就是图形被框定在两条平行于x轴的直线之间，不会跑出去；从代数意义看，就是函数值不会趋于正无穷大，也不会趋于负无穷大；当时并不意味着有极限，比如y=sinx，被框定在y=±1这两条直线之间，x→∞时，sinx游走于[-1,+1]之间。

 二、最大最小值定理

 三、零点存在定理

 四、介值定理

五、反函数连续性定理

 证明见闭区间上连续函数性质的证明 - 道客巴巴