克拉默法则

齐次线性方程组

$A_{m\times n}X=0$

齐次线性方程组的解

齐次线性方程组的解是使A的列向量组合为0的线性组合系数。

基础解系

则称向量组${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_{n-r}$是AX=0的基础解系。
条件2等价于“r(A)=r”，即线性无关解向量的个数为n-r，满足r(A)+线性无关解的个数=n(未知量个数)。

解的性质

有解的条件

基础解系向量个数与r(A)的关系

若A是m×n矩阵，r(A)=r<n,则齐次线性方程组AX=0存在基础解系，且基础解系有n-r个线性无关解向量组成，故“基础解系向量个数+r(A)=n(未知量个数)”

通解

若${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_{n-r}$是AX=0的基础解系，则
$$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+...+k_{n-r}{\xi }_{n-r}$$
是AX=0的通解，其中$k_1,k_2,...k_{n-r}$是任意常数。

非齐次线性方程组

$A_{m\times n}x=b,(b\ne 0)$

非齐次线性方程组的解

非齐次线性方程组的解是b可由A的列向量线性表出的表出系数。

解的性质

设${\eta }_1,{\eta }_2$是AX=b的两个解，$\xi$是对应齐次方程组AX=0的解，则
$$A({\eta }_1-{\eta }_2)=0,A({\eta }_1+k\xi )=b$$

AX=b有解的条件

通解

若AX=b有特接$\eta$,对应的齐次线性方程组AX=0有基础解系${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_{n-r}$则AX=b的通解为
$$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+...+k_{n-r}{\xi }_{n-r}+\eta$$
其中$k_1,k_2,...k_{n-r}$是任意常数。