《计算机系统：核心概念及软硬件实现（原书第4版）》——3.3　二进制运算

本节书摘来自华章计算机《计算机系统：核心概念及软硬件实现（原书第4版）》一书中的第3章，第3.3节,作者：[美] J. 斯坦利·沃法德（J. Stanley Warford）著， 更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。

3.3 二进制运算

因为计算机中所有信息都是以二进制存储的，所以CPU就用二进制运算来处理这些信息。前面章节提到了NOT、ADD和NEG这些二进制运算：NOT是逻辑运算符，ADD和NEG是算术运算符。本节我们再讲一些其他的在计算机CPU中有用的逻辑和算术运算符。
3.3.1逻辑运算符
我们熟悉逻辑运算AND和OR。另一个逻辑运算符是异或，写作XOR。若p为真，或者q为真，但不同时为真，那么p和q的异或逻辑值为真。即，p一定真异于q，或者q必须真异于p。
二进制数字一个有趣的属性是可以把它们作为逻辑值来解读。在ISA3层，位为1表示真，位为0表示假。图3-15展示了AND、OR和XOR运算符在ISA3层的真值表。

在HOL6层，AND和OR对值为真或假的布尔表达式运算，用在if语句和循环中来测试控制语句执行的条件。下面的C++语句是AND运算符的一个例子

图3-16是AND、OR和XOR在HOL6层的真值表，它和图3-15是一样的，ISA3层的1对应HOL6层的true（真），ISA3层的0对应HOL6层的false（假）。

由于不涉及进位，所以逻辑运算比加法更容易执行。对序列中的对应位进行遂位运算。逻辑运算对进位位和溢出位都没有影响。
例3.19一些6位单元的例子是

注意，如果把1与1做AND运算，结果是1，没有进位。 □
每个AND、OR和XOR运算用两组位来产生结果，不过NEG运算仅对一组位进行，因此称为一元运算（unary operation）。
3.3.2寄存器传送语言
寄存器传送语言（RTL）的目的是精确指定硬件操作的结果。如果学习过逻辑学，你会熟悉RTL符号。图3-17展示了RTL符号。

在逻辑学中，AND和OR运算称为合取（conjunction）和析取（disjunction），NOT运算符称为否定（negation）。蕴含（implies）运算符可以翻译为英语“if/then”（中文“如果/那么”）。传递（transfer）运算符是与C++中赋值运算符=等效的硬件。运算符左边的内存单元获得运算符右边的量。位索引运算符把内存单元当做数组，最左边的位是索引0，与C++索引数组元素一样。当形式化描述不够时，可以用非形式化的语言描述，用大括号括起来。
有两种分隔符：一个是顺序分隔符（sequential separator）（分号），用来分隔一个接一个发生的两个动作；另一个是并发分隔符（concurrent separator）（逗号）用来分隔同时发生的两个动作。
例3.20在例3.19的第3个计算中，假设第一个6位单元用a表示，第二个6位单元用b表示，结果为c，那么XOR运算的RTL表述是
c←a⊕b; N←c＜0, Z←c＝0
首先，c获得a和b的异或，这个动作完成后，下面这两个动作同时发生：N获得一个布尔值，Z获得一个布尔值。当c＜0时，布尔表达式c＜0为1，否则为0。 □
3.3.3算术运算符
另外还有两个一元运算符：ASL表示算术左移（arithmetic shift left）和ASR表示算术右移（arithmetic shift right）。如同ASL这个名字暗示的，单元中每位往左移动一个位置，最左边的位移动到进位位，而最右边的位得到0。图3-18展示了一个6位单元的ASL运算的动作。

例3.21下面是3个算术左移的例子。
ASL 11 1100＝11 1000， N＝1, Z＝0, V＝0, C＝1
ASL 00 0011＝00 0110， N＝0, Z＝0, V＝0, C＝0
ASL 01 0110＝10 1100， N＝1, Z＝0, V＝1, C＝0 □
这个运算称为算术移位，因为当这些位用作整数表示时，它的结果类似于算术操作。假设用无符号二进制表示，前面例子中3个整数在移动前是
60 3 22 （dec，unsigned）
移动后成为
56 6 44 （dec，unsigned）
ASL的结果是原数的2倍。因为120超出6位单元能表示的整数范围，所以ASL不能把60翻倍。当把二进制序列看作无符号整数时，如果移动后进位位是1，则发生溢出。
在十进制中，左移产生同样的结果，只是整数被乘以10而不是2。例如，对356进行十进制的ASL会得到3560，它是原数值的10倍。
如果把数解释为补码表示会是什么情况呢？那么移动前3个整数是
-4322（dec，signed）
移动后成为
-86-20（dec，signed）
同样，尽管是负数，ASL的结果仍然是原数的2倍。这次，ASL不能把22翻倍，假定用补码表示，44超出了范围。这个溢出情况使得V位被设置为1。这个情形与加法运算中C位检测到无符号值溢出相似，需要用V位来检测有符号值的溢出。
对6位单元r进行算术左移的RTL表述为
C←r 0 , r 0..4 ←r 1..5 , r 5
N← r 0, Z←r = 0, V←{溢出}
同时，C获得r最左边的位，r最左边的5位直接获得它们紧邻着的右边位的值，最右边一位获得0。移位之后，根据r的新值设置状态位N、Z和V。区分分号和逗号是很重要的：分号隔开两个事件，每个事件有3个部分；在每个部分内，逗号隔开同时发生的事件。大括号非形式化地表示当把值当作有符号整数时，根据结果是否溢出对V位进行设置。
在ASR运算中，组中每个位往右移动一个位置，最低有效位移到进位位，最高有效位保持不变。图3-19展示了一个6位单元的ASR运算的动作。ASR运算不会影响V位。

例3.22下面是4个算术右移的例子。
ASR 01 0100＝00 1010,N＝0, Z＝0, C＝0
ASR 01 0111＝00 1011,N＝0, Z＝0, C＝1
ASR 11 0010＝11 1001,N＝1, Z＝0, C＝0
ASR 11 0101＝11 1010,N＝1, Z＝0, C＝1 □
ASR运算是特意为补码表示设计的，因为符号位保持不变，负数仍然是负数，正数仍然是正数。
往左移1位是原数乘以2，反之往右移1位是原数除以2。在前面例子中，移动前4个整数为
2023-14-11（dec，signed）
移动后是
1011-7-6（dec，signed）
偶数正好可以被2整除，因此ASR对它们的结果没什么疑问。当奇数除以2时，结果总是向下取整。例如，23÷2＝11.5，11.5向下取整为11，同样，-11÷2＝-5.5，-5.5向下取整为-6。注意，因为在数轴上-6在-5.5左边，因此它小于-5.5。
3.3.4循环移位运算符
和算术运算符相比，循环移位运算符不会把二进制序列看作整数，因此循环移位运算不会影响N、Z和V位，而只会影响C位。有两种循环移位运算符：表示为ROL的循环左移和表示为ROR循环右移。图3-20展示了6位单元的循环移位运算符的动作。循环左移类似于算术左移，在循环左移中C位会循环移到单元的最右边位，而在算数右移中是0。循环右移是在相反的方向做同样的事情。

6位单元循环左移的RTL表述是
C←r〈0〉, r〈0..4〉 ←r〈1..5〉, r〈5〉←c;
例3.23下面是4个循环移位运算的例子。
C＝1，ROL 01 1101＝11 1011，C＝0
C＝0，ROL 01 1101＝11 1010，C＝0
C＝1，ROR 01 1101＝10 1110，C＝1
C＝0，ROR 01 1101＝00 1110，C＝1
左边是循环移位前的C值，而右边是循环移位后的C值。 □

《逻辑与计算机设计基础（原书第5版）》——1.2 计算机系统设计的抽象层次 本节书摘来自华章计算机《逻辑与计算机设计基础（原书第5版）》一书中的第1章，第1.2节，作者：（美）M.莫里斯·马诺（M. Morris Mano）著， 更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。