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UVa 11077 Find the Permutations (计数DP)

The DP Find UVa 计数 Permutations
2023-09-11 14:17:18 时间

题意：给定 n 和 m，问你在 1 ~ n 的所有排列中，有多少个排列满足至少要交换 m 次才能变成 1 2 3 ... n。

析：首先，先考虑一下，某个排列，要变成 1 2 3 .. n，最少要交换几次，这个问题，我们可以把这个排列拆成几个循环，很明显在每个循环中，假设循环长度是 n ，那么至少要交换 n-1 次才能完成，如果不理解的，可以自己举个例子看看，有这个条件，那么就好做了，dp[i][j] 表示 1  ~ i 的排列中至少要交换 j 次才能变成 1 2 3 .. i，dp[i][j] = dp[i-1][j] + (i-1) * dp[i-1][j-1]，解释一下这个方程，dp[i-1][j] ，就是直接把 i 放到第 i 个位置，不用交换，正好就是dp[i-1][j]，(i-1) * dp[i-1][j-1]，这个意思就是对，对于每个排列，我们可以把 i 放到前面的任何循环中，也就是可以把 i 和 前面 1 ~ i-1 上的数进行交换，正好某个循环长度多 1，其他的不变，所以就需要 j 次才能完成。

代码如下：

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <set>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <sstream>
#include <list>
#include <assert.h>
#include <bitset>
#include <numeric>
#define debug() puts("++++")
#define gcd(a, b) __gcd(a, b)
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ms(a,b) memset(a, b, sizeof a)
#define sz size()
#define pu push_up
#define pd push_down
#define cl clear()
#define lowbit(x) -x&x
//#define all 1,n,1
#define FOR(i,n,x)  for(int i = (x); i < (n); ++i)
#define freopenr freopen("in.in", "r", stdin)
#define freopenw freopen("out.out", "w", stdout)
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> P;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL LNF = 1e17;
const double inf = 1e20;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
const int maxn = 20 + 10;
const int maxm = 1e6 + 2;
const LL mod = 1000000007;
const int dr[] = {-1, 1, 0, 0, 1, 1, -1, -1};
const int dc[] = {0, 0, 1, -1, 1, -1, 1, -1};
const char *de[] = {"0000", "0001", "0010", "0011", "0100", "0101", "0110", "0111", "1000", "1001", "1010", "1011", "1100", "1101", "1110", "1111"};
int n, m;
const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
inline bool is_in(int r, int c) {
  return r >= 0 && r < n && c >= 0 && c < m;
}

LL dp[maxn][maxn];

int main(){
  dp[1][0] = 1;
  for(int i = 2; i < 22; ++i)
    for(int j = 0; j < i; ++j)
      dp[i][j] = dp[i-1][j] + (j ? dp[i-1][j-1] * (i-1) : 0);
  while(scanf("%d %d", &n, &m) == 2 && n + m)  printf("%llu\n", dp[n][m]);
  return 0;
}

　　

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