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UVa 11542 Square (高斯消元)

UVa 高斯消 Square
2023-09-11 14:17:18 时间

题意：给定 n 个数，从中选出一个，或者是多个，使得选出的整数的乘积是完全平方数，求一共有多少种选法，整数的素因子不大于 500。

析：从题目素因子不超过 500，就知道要把每个数进行分解。因为结果要是完全平方数，也就是说每个素因子都得出现偶数次，对于每个数我们用一个 01 向量来表示，对于这个数相应的素因子，如果出现奇数就是 1，否则就是 0，这样就可以得到一些方程，比如举个例子。 4 个整数， 4 6 10 15 ，素因子只有 2 3 5，4 = 2 ^ 2 * 3^0 * 5^0，对于每个素数可以列出一个方程 x2 + x3 = 0 mod 2  x2 + x4 = 0 mod 2  x3 + x4 = 0 mod2，很明显答案就是这些方程的解的个数，而且这个些解都是 0 或者是 1 的组合，换句话说，答案就是这些方程 2^自 由元变量 - 1，减 1 意思是去掉全不选的情况。自由变元怎么求呢，使用高斯消元，不过这次是使用异或，比高斯消元还好写。

代码如下：

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <set>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <sstream>
#include <list>
#include <assert.h>
#include <bitset>
#include <numeric>
#define debug() puts("++++")
#define gcd(a, b) __gcd(a, b)
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ms(a,b) memset(a, b, sizeof a)
#define sz size()
#define pu push_up
#define pd push_down
#define cl clear()
#define lowbit(x) -x&x
//#define all 1,n,1
#define FOR(i,n,x)  for(int i = (x); i < (n); ++i)
#define freopenr freopen("in.in", "r", stdin)
#define freopenw freopen("out.out", "w", stdout)
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> P;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL LNF = 1e17;
const double inf = 1e20;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
const int maxn = 500 + 5;
const int maxm = 1e6 + 2;
const LL mod = 1000000007;
const int dr[] = {-1, 1, 0, 0, 1, 1, -1, -1};
const int dc[] = {0, 0, 1, -1, 1, -1, 1, -1};
const char *de[] = {"0000", "0001", "0010", "0011", "0100", "0101", "0110", "0111", "1000", "1001", "1010", "1011", "1100", "1101", "1110", "1111"};
int n, m;
const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
inline bool is_in(int r, int c) {
  return r >= 0 && r < n && c >= 0 && c < m;
}

bool vis[maxn];
int prime[maxn], cnt;

void init(){
  for(int i = 2; i < maxn; ++i)  if(!vis[i]){
    prime[cnt++] = i;
    for(int j = i*i; j < maxn; j += i)  vis[j] = 1;
  }
}

int A[maxn][maxn];

int main(){
  init();
  int T;  cin >> T;
  while(T--){
    scanf("%d", &n);
    ms(A, 0);  int mmax = 0;
    for(int i = 0; i < n; ++i){
      LL x;  scanf("%lld", &x);
      for(int j = 0; j < cnt; ++j)  while(x % prime[j] == 0){
        A[j][i] ^= 1;  x /= prime[j];  mmax = max(mmax, j);
      }
    }
    int i = 0, j = 0;
    while(i <= mmax && j < n){
      int r = i;
      for(int k = i; k <= mmax; ++k)
        if(A[k][j]){ r = k;  break; }
      if(A[r][j]){
        if(r != i)  for(int k = i; k <= n; ++k)  swap(A[r][k], A[i][k]);
        for(int k = i+1; k <= mmax; ++k)  if(A[k][j])
          for(int l = i; l <= n; ++l)  A[k][l] ^= A[i][l];
        ++i;
      }
      ++j;
    }
    printf("%lld\n", (1LL<<n-i) - 1);
  }
  return 0;
}

　　

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