考研数二第十二讲 复合函数、反函数、隐函数及参数方程所确定的函数的微分法与一阶微分形式的不变性

复合函数

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。
关于复合函数，我们可以讲复合函数想象成函数嵌套的形式，比如f(g(x))的形式，不在是我们之前认识的简单的f(x)关于x的函数，现在的f函数是一个关于g(x)的函数，而g(x)是关于x的函数，复合函数比较容易和函数求导，函数求间断点，以及函数极限结合起来考察。

复合函数求导（链式法则）

反函数

我们在求一个函数的反函数时，我们只需要将自变量和因变量置换，然后求出类似于y=?x的函数即可。（前提是存在反函数，严格单调函数一定存在反函数，与函数的定义有关）接下来举几
个例子：

隐函数

如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。f(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。

其实隐函数的知识并不难理解，我们以前学的因变量y在函数一边的叫做显函数；隐函数就是将y“隐藏”在一个式子里即和 自变量x在一边的函数。它的难点在于如何利用隐函数求导。接下来，我就和大家聊一聊隐函数的求导。

由参数方程所确定的函数的导数

一阶微分形式的不变性

一阶微分不变性，符合高等数学的概念的一贯特点，听上去云山雾罩，一旦明白了，就会觉得，这特么不是理所当然么？
一元函数一阶微分的形式不变性：

如果是可微函数呢？

函数y=f(g(x)) 函数的导数怎么求，我们来看一下:

费马引理

费马（Fermat）引理：设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x∈U(x0)，有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(xo))，那么f’(x0)=0。

费马引理就是说明，对于某定义区间内的函数极值点，如果该函数在极值点可导，则函数在该极值点的导数为0。体现在几何上，就是在曲线的最高点或最低点处，其切线平行于x轴。

可以通过计算在极值点的左导数和右导数，并且二者必须相等就可以证明。

通常称导数等于0的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）。