《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 1.3 向量方程

本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 （原书第4版）》一书中的第1章，第1.3节，作者:（美）戴维C. 雷（David C. Lay）马里兰大学帕克学院 著刘深泉 张万芹 陈玉珍 包乐娥 陆 博 译，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。

本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 （原书第4版）》一书中的第1章，第1.3节，作者:（美）戴维C. 雷（David C. Lay）马里兰大学帕克学院 著刘深泉 张万芹 陈玉珍 包乐娥 陆 博 译，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。

1.3 向量方程

线性方程组的重要性质都可用向量概念与符号来描述. 本节把通常的线性方程组与向量方程联系起来. 名词“向量”出现在各种数学和物理教科书中，在第4章我们将讨论“向量空间”. 在此以前，我们用向量表示一组数. 这种简单的思想使得我们能够尽快地将它们应用于有趣和重要的问题.
中的向量
仅含一列的矩阵称为列向量，或简称向量，包含两个元素的向量如下所示.

这里和 是任意实数. 所有两个元素的向量的集记为 ， 表示向量中的元素是实数，而指数2表示每个向量包含两个元素. 中两个向量相等，当且仅当对应元素相等. 因此，是不相等的. 我们称 中向量是实数的有序对.
给定 中两个向量u和v，它们的和 u+v是把对应元素相加所得向量. 例如，

给定向量u和实数c，u与c的标量乘法（或数乘）是把u的每个元素乘以c，所得向量记为cu. 例如，

cu中的数c称为标量（或数乘），它写成细体字母以区别于黑斜体的向量u.
向量加法与标量乘法也可以组合起来，如下例.

有时为了方便（以及节省篇幅），我们把列向量 写成（3, -1）的形式. 这时，我们用圆括弧表示向量，并在两个元素之间加上逗号，以便区别向量（3, -1）与1*2行矩阵[3,-1] ，后者使用方括号且两元素之间无逗号.
于是
因为这两个矩阵的维度不同，尽管它们有相同的元素.
的几何表示
考虑平面上的直角坐标系. 因平面上每个点由实数的有序对确定，我们可把几何点(a,b) 与列向量 等同. 所以我们可把 看作平面上所有点的集合，见图1-7.
向量 的几何表示是一条由原点（0, 0）指向点（3, -1）的有向线段（用箭头画出），见图1-8. 在这种情况下，单个的在箭头方向上的点本身并不重要 .

2向量的和也有很有用的几何意义. 下列规则可用解析几何的知识证明.
向量加法的平行四边形法则
若 中向量u和v用平面上的点表示，则 对应于以u, 0和v为三个顶点的平行四边形的第4个顶点，见图1-9.

矩阵的奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)是数值计算中的精彩之处，在其它数学领域和机器学习领域得到了广泛的应用，如矩阵的广义逆，主分成分析(PCA),自然语言处理(NLP)中的潜在语义索引（Latent Semantic Indexing）,推荐算法等。
《 线性代数及其应用 （原书第4版）》——1.4 矩阵方程 本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 （原书第4版）》一书中的第1章，第1.4节，作者:（美）戴维C. 雷（David C. Lay）马里兰大学帕克学院 著刘深泉 张万芹 陈玉珍 包乐娥 陆 博 译，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看
《 线性代数及其应用 （原书第4版）》——1.2 行化简与阶梯形矩阵 本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 （原书第4版）》一书中的第1章，第1.2节，作者:（美）戴维C. 雷（David C. Lay）马里兰大学帕克学院 著刘深泉 张万芹 陈玉珍 包乐娥 陆 博 译，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看