一个2N的表格，砖块是12的尺寸，可以横着放或竖着放，请问2*N列表格有多少种放法？

本题是2022届毕业生秋招一个银行大招聘笔试题
有了斐波那契数列，其实经常又大厂会改编一些类似斐波那契数列的题目来考，因此，这类题目咱们要总结和梳理一下，以防万一
提示：矩阵A的p次幂的快速乘法，是重要的优化算法基础知识

之前的基础：咱们求过数字最快速乘幂的方法（数字a的p次幂），
（1）最快乘法：普通数字a的p次幂怎么求速度最快，不用Math.pow(a,p)哦
（2）咱们求过矩阵最快速乘幂的方法（矩阵A的p次幂），
最快矩阵乘法：矩阵A的p次幂怎么求速度最快，Math根本没有求矩阵的幂次函数

这俩知识点，你必须看懂，否则这个文章你看不懂！
这俩知识点，你必须看懂，否则这个文章你看不懂！
这俩知识点，你必须看懂，否则这个文章你看不懂！

在笔试中，建议还是用暴力递归改记忆化搜索算法，或者改动态规划填表的做法！
笔试的话，不建议用快速矩阵乘法来求斐波那契数列类似的问题！

但是在，面试的过程中，先可以用暴力递归解决类似的问题，改动态规划
然后，咱们可以秀一下自己的优化实力与技能！即完全可以用矩阵的乘幂来求类似的斐波那契数列f(n)题
下列文章是重要的关于斐波那契数列的题目：
（3）斐波那契数列：暴力递归改动态规划
（4）用矩阵乘幂的方法，求斐波那契数列f(n)=f(n-1)+f(n-2)，不用递归求，速度非常非常快
（5）类似斐波那契数列：奶牛生牛问题：奶牛生下来3年可以成熟生小牛，请问第N年一共多少牛
（6）人或者青蛙走台阶，每次它可以一步走1阶，或2阶，请问总共n层能有多少种走法
（7）一个N位字符串s，只包含0和1的，要求每个0左边都是1才达标，请问01组合出s有多少种组合方法

---

文章目录

• 一个2*N的表格，砖块是1*2的尺寸，可以横着放或竖着放，请问2*N列表格有多少种放法？
• • @[TOC](文章目录)
• 题目
• 一、审题
• 二、解题
• 三、暴力递归，关键是上面的公式，撸代码不是问题
• 四、笔试AC解：改记忆化搜索方案，让dp表跟随暴力递归
• 五、面试精华解：改精细化动态规划填写dp表，整转移方程
• 面试高超优化技能：矩阵A的p次幂求斐波那契数列
• 总结

题目

一个2N的表格，砖块是12的尺寸，可以横着放或竖着放，请问2*N列表格有多少种放法？

---

一、审题

示例：
绿色那是横着放
粉色那是竖着放
请问2*N列表格，有多少种放法？

……

---

二、解题

！！！这个题目，完全和走阶梯那题目一模一样！！！
（6）人或者青蛙走台阶，每次它可以一步走1阶，或2阶，请问总共n层能有多少种走法
！！！这个题目，完全和01组合字符串达标那题目一模一样！！！
（7）一个N位字符串s，只包含0和1的，要求每个0左边都是1才达标，请问01组合出s有多少种组合方法

你完全可以根据案例去画，然后得出递推公式：
（1）n=1:就粉色这一种情况：1

（2）n=2:
第一块取（1）的话，第2块只能竖着放，1种
第一块横着放，（绿色那），那下面也只能横着放，1种
共2种

（3）n=3:
实际上，把3位置当（1）搞定【21】，那就是f(n-1)种方法；
如果把23位置横着放，就当（2）来看【22】，那就是f(n-2)种方法；
也就是说，f(3)=f(1)+f(2)=1+2=3

（4）n=4:

跟（3）类似，咱把4位置当（1）来看，实际上就是f(n-1)种方法
如果34位置横着放，那就是（2）来看，实际上就是f(n-2)种方法
也就是说f(4)=f(3)+f(2)=3+2=5
……

观察可以知道，实际上，f(n)=f(n-1)+f(n-2)
初始化条件f(1)=1,f(2)=2；

这跟斐波那契数列很相似，只不过斐波那契数列的始化条件f(1)=1,f(2)=1；

咱们还可以这么推，不单单是观察
事情是这样的：

如果看看n位怎么放砖的话？

（1）直接让n位置，一块砖竖着放，那只看f(n-1)种方法即可
（2）如果n-1和n位置联合放2块横着的砖，那只需要看f(n-2)
所以求和就是我们要的方案数，因为就上面2种摆法！
f(n)=f(n-1)+f(n-2)
初始化条件f(1)=1,f(2)=2；

是不是超级easy？

剩下的撸代码的事情，完全和青蛙走台阶、和01组合字符串那俩题目一模一样，没有任何区别！——所以上面的基础知识一定要看。

三、暴力递归，关键是上面的公式，撸代码不是问题

对于本题，你还要注意，其实
f(n)=f(n-1)+f(n-2)，初始化条件f(1)=1,f(2)=2；
f即：1 2 3 5 8……

这跟斐波那契数列很相似，feiBo(n)=feiBo(n-1)+feiBo(n-2),只不过斐波那契数列的始化条件f(1)=1,f(2)=1；
feiBo即：1 1 2 3 5 8……

当年咱们求过斐波那契数列的代码，你完全可以用！

public static int feiBo(int n){
        if (n == 1 || n == 2) return 1;
        return feiBo(n - 1) + feiBo(n - 2);
    }

只不过是当n=2开始，f(n)=feiBo（n+1）；
n=2时，而feiBo（2）=1，但是f(2)=2了，实际就是f(n)=feiBo(n+1)=feiBo(3)=2
这非常简单吧……

public static int qingWa(int n){
        if (n == 1) return 1;
        return feiBo(n + 1);
    }

当然，每次遇到不同的递归，你完全可以重头再写暴力递归代码，非常非常简单的

咱们手撕一下：

//复习青蛙台阶f
    public static int f(int n){
        if (n == 1) return 1;
        if (n == 2) return 2;

        return f(n - 1) + f(n - 2);
    }

    public static void test2(){
        System.out.println(qingWa(4));
        System.out.println(f(4));
    }

    public static void main(String[] args){
        test2();
    }

问题不大：

5
5

四、笔试AC解：改记忆化搜索方案，让dp表跟随暴力递归

既然一个变量n，那就是一维表格dp，长n+1，i从0–n取值

咱们可以搞一个dp表伴随f
dp就是傻缓存，在笔试时就这能AC，速度很快的。

手撕代码问题不大：

//复习青蛙台阶fDP
    public static int fDP(int n, int[] dp){
        if (dp[n] != -1) return dp[n];

        if (n == 1) {
            dp[n] = 1;
            return dp[n];
        }
        if (n == 2) {
            dp[n] = 2;
            return dp[n];
        }

        dp[n] = fDP(n - 1, dp) + fDP(n - 2, dp);

        return dp[n];
    }
    public static int jumpSteps(int n){
        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
            dp[i] = -1;//初始化
        }
        return fDP(n, dp);
    }

    public static void test2(){
        System.out.println(qingWa(4));
        System.out.println(f(4));
        System.out.println(jumpSteps(4));
    }

    public static void main(String[] args){
        test2();
    }

5
5
5

五、面试精华解：改精细化动态规划填写dp表，整转移方程

笔试可以了，但是我们面试还需要直接从暴力递归的代码，推导转移方程，直接填表dp，返回dp[n]【下面那个五角星位置】
填表初始化，左边1 2两个格子
然后从左往右填写即可

超级简单

public static int jumpStepsDP(int n){
        if (n < 1) return 0;

        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;//暴力递归怎么写，咱就怎么改
        for (int i = 3; i < n + 1; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];//暴力递归直接改f为dp来的
        }

        return dp[n];
    }

    public static void test2(){
        System.out.println(qingWa(4));
        System.out.println(f(4));
        System.out.println(jumpSteps(4));
        System.out.println(jumpStepsDP(4));
    }

    public static void main(String[] args){
        test2();
    }

5
5
5
5

面试高超优化技能：矩阵A的p次幂求斐波那契数列

之前，咱们学过，斐波那契数列的快速矩阵幂次求法
（4）用矩阵乘幂的方法，求斐波那契数列f(n)=f(n-1)+f(n-2)，不用递归求，速度非常非常快

咱必须要记住的d矩阵是：【可别记错了！】

类似斐波那契数列的通用矩阵乘积形式：

故当d的n-2次幂求出来之后，完全可以这么做

那么关键就在矩阵的乘积AB的代码和A的p次幂的代码，你要记住，数量掌握

//C=A×B咋求--Math中没有的，需要自己整
    public static int[][] matrixMul(int[][] A, int[][] B){
        int m = A.length;
        int b = B[0].length;
        int[][] C = new int[m][b];//A的一行，×B的一列，求和，放在C的m行，b列

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < b; j++) {
                //A的一行，×B的一列，求和，放在C的m行，b列
                int ans = 0;
                for (int k = 0; k < A[0].length; k++) {//是A的列哦
                    ans += A[i][k] * B[k][j];
                }
                C[i][j] = ans;
            }
        }

        return C;
    }

    //矩阵A的p次幂--这个要熟练掌握，二进制幂次求法
    public static int[][] powMatrixAitsPCiMi(int[][] A, int p){
        int m = A.length;
        int n = A[0].length;
        
        //初始化，a=I，t=A的1次方
        int[][] a = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            a[i][i] = 1;//单位阵
        }
        int[][] tmp = A;//基数矩阵

        //（1）p的0位x=1：a=a×t=1×A的1次方=A的1次方，t=t×t=A的2次方
        //（2）p的1位x=1：a=a×t=A的1次方=A的1次方×A的2次方，t=t×t=A的4次方
        //（3）p的2位x=0：~~a=a×t=A的1次方=A的1次方×A的2次方~~ ，t=t×t=A的8次方
        //（4）p的3位x=1：a=a×t=A的1次方=A的1次方×A的2次方×A的8次方，t=t×t=A的16次方
        //（5）p的4位x=0：~~a=a×t=A的1次方=A的1次方×A的2次方×A的8次方~~ ，t=t×t=A的32次方
        //（6）p的5位x=0：~~a=a×t=A的1次方=A的1次方×A的2次方×A的8次方~~ ，t=t×t=A的64次方
        //（7）p的6位x=1：a=a×t=A的1次方=A的1次方×A的2次方×A的8次方×A的64次方 ，t=t×t=A的128次方
        //此时a已经是A的p=75次方了
        //看p的x位是否为1
        for(; p != 0; p >>= 1){//每次结束p往右移动1位，p=0结束
            if ((p & 1) != 0){
                //p最右那个x位=1，需要雷×结果
                a = matrixMul(a, tmp);//a=a*t
            }
            //每次t都需要倍次幂
            tmp = matrixMul(tmp, tmp);//t=t*t
        }

        return a;//返回a
    }

好，现在就可以求阶梯有多少走法了？

//阶梯与斐波那契数列的关系
    public static int fMatrixMiCi(int n){
        if (n == 1) return 1;
        if (n == 2) return 2;

        int[][] d = {
                {1,1},
                {1,0}
        };//1110的d，千万别记错了
        d = matrixPower(d, n - 2);//d的n-2次幂

        //fn fn-1 = f2 f1 * d的n-2次幂
        //fn = 2 1 8 d的n-2次幂

        return 2 * d[0][0] + d[1][0];//画个图看矩阵就知道了，很简单。
    }

    public static void test2(){
        System.out.println(qingWa(4));
        System.out.println(f(4));
        System.out.println(jumpSteps(4));
        System.out.println(jumpStepsDP(4));
        System.out.println(fMatrixMiCi(4));
    }

    public static void main(String[] args){
        test2();
    }

5
5
5
5
5

---

总结

提示：重要经验：

1）类似斐波那契数列的递推公式，可以通过观察得到，也可以通过推理得到，反正不会太难的，要找到这个规律。
2）矩阵幂次的求法，可以在笔试秀技，但是笔试就踏实写傻缓存dp跟随暴力递归的代码就行。
3）笔试求AC，可以不考虑空间复杂度，但是面试既要考虑时间复杂度最优，也要考虑空间复杂度最优。