◎ 本文下载链接：

• 信号与系统分析2022 春季学期第二次作业 : https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/123258268

◎ 参考答案链接： 信号与系统分析2022春季作业-参考答案：第二次作业

 

§01 基础作业

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  基础作业部分包含有八道大题。请注意：

• 每道题目中包含有必做题与选做题两部分。
• 必做题要求包含在提交的作业中；选择题仅用于思考和练习。

1.1 信号奇偶分解

  绘制下图中各个信号的偶分量和奇分量。

1.1.1 必做题

▲ 图1.1.1 第一小题

▲ 图1.1.2 第二小题

1.1.2 选做题

▲ 图1.1.3 第三小题

注意： 第三小题包括有两个冲激信号： $\delta \left(t-1\right),{\delta }^{\prime }\left(t\right)$ 。

▲ 图1.1.4 第四小题

1.2 奇偶分解反问题

1.2.1 必做题

  已知下图中（a） $x_o\left(t\right)$ 是信号 $x\left(t\right)$ 的奇分量，图（b）是信号 $x\left(t+1\right)\cdot u\left(-t-1\right)$ 。绘制出 $x\left(t\right)$ 的偶分量 $x_e\left(t\right)$ 的波形。

▲ 图1.2.1 本题中图（a）与图（b）信号波形

1.3 信号自变量变化

  已知连续时间信号 $f\left(t\right)$ 与离散时间序列 $f\left[n\right]$ 的波形如下，请绘制出对应自变量变化后的信号波形。

▲ 图1.3.1 本题对应的f(t),f[n]信号波形

1.3.1 必做题

1.3.2 选做题

1.4 从系统框图到方程

  试写出下面各图对应的系统输入输出之间的微分方程和差分方程。请大家注意本题中采用了不同的符号表示了积分、延迟，请大家注意辨识这些不同的表示方法。

1.4.1 必做题

▲ 图1.4.1 第一小题对应的连续时间系统框图

▲ 图1.4.2 第二小题对应的离散时间系统框图

▲ 图1.4.3 第三小题对应的系统框图

▲ 图1.4.4 第四小题对应的系统框图

注：本题中表示积分环节使用积分符号；单位延迟环节使用字母D表示。
提示：上面（3），（4）两小题，大家可以参考“算子方法”化简系统。具体参见课件【1,2,1,3】

1.4.2 选做题

▲ 图1.4.5 第五小题系统框图

注：请注意在本题中对应的积分环节使用符合为 1/s 。
注：本题来自于 We have solutions for your book! 。

▲ 图1.4.6 第六小题系统框图

本题中的 a,b 都是常数。
本题来自于： Question: 4. [6 pts] System Equations From Block Diagram. Find the differe

▲ 图1.4.7 第七小题系统框图

注：本题中系统框图使用 $z^{-1}$ 单位延迟环节。
本题来自于： 第七小题系统框图

1.5 LTI系统响应

1.5.1 必做题

  有一线性时不变（LTI）系统，当激励 $e_1\left(t\right)=u\left(t\right)$ 时，系统响应 $r_1\left(t\right)=t\cdot e^{-2\alpha t}\cdot u\left(t\right)$ 。试求当激励 $e_2\left(t\right)=\delta \left(t\right)$ 时，系统响应 $r_2\left(t\right)$ 的表达式。

• 注：假定系统起始时刻系统初始条件为0，系统输入输出之间满足严格线性关系。

提示：本题需要应用到线性时不变系统的微分特性。

1.5.2 选做题

  Conside a LTI systems whose response to the signal $x_1\left(t\right)$ in Figure P5.1 is the signal $y_1\left(t\right)$ illustrated in Figure P5.2. Determine and sketch carefully the response of the system to the input $x_2\left(t\right)$ and $x_3\left(t\right)$ illustrated in the Figure P5.3 and P5.4 respectively.

▲ 图1.5.1 LTI系统的输入输出信号

提示：利用线性时不变系统的特性。将 $x_2\left(t\right),x_3\left(t\right)$ 分别表示成 $x_1\left(t\right)$ 与其延迟信号的线性组合，然后再根据LTI的性质，获得 $x_2\left(t\right),x_3\left(t\right)$ 各自的输出信号。

1.6 系统可逆性

  判断下列系统是否可逆。如果可逆，给出它的逆系统。如果不可逆，指出是该系统产生相同输出的两个输入信号。

  题目中，系统输入信号为 $e\left(t\right)$ 、 $e\left[n\right]$ ，输出信号为 $r\left(t\right)$ 、 $r\left[n\right]$ 。

1.6.1 必做题

此处，并 没有 对系统满足 初始松弛 条件进行规定，也就是 $e\left(-\infty \right)=0$。

1.6.2 选做题

（1）采样系统

  下面给出了采样系统的框图。采样系统的输出信号 $r\left(t\right)$ 是输入信号 $e\left(t\right)$ 乘以固定的采样脉冲序列信号 $\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-n\cdot t_s\right)$ 。

▲ 图1.6.1 信号采样系统系统框图

  请判断采样系统是否可逆，或者讨论采样系统可逆的必要条件是什么？

本题的理论分析需要等到第四章，学习信号的采样与恢复才能够完整的讨论。

（2）电阻电容低通滤波

  讨论下面电路的输入输出之间是否可逆。

▲ 图1.6.2 RC滤波电路

• 参考文献： RC低通滤波器的逆系统

1.7 系统特性

  判断下面系统是否为线性、时不变、因果？

1.7.1 必做题

1.8 串联系统

  已知三个离散时间系统的输入输出关系分别为：

1.8.1 选做题

  把上述三个子系统进行如下串联，求系统输入输出关系，并判断它是否为线性、时不变系统？

▲ 图1.8.1 三个子系统串联

延伸思考：

• 如果将上述各子系统更换成连续时间系统，系统是否是线性时不变？
• 如果将上述各子系统进行交换顺序，系统是否为线性时不变？

 

§02 实验作业

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  注：实验题为选做题。

2.1 音乐信号变换

2.1.1 音乐数据下载

  从下面网络链接下载两个信号的音频文件：

音频文件：

f1(t)：by.mp3
f2(t)：tear30.mp3

• 音乐片段1数据 : https://gitee.com/tsinghuajoking/teaching-resources/raw/master/Signals&Systems/2022年/by.mp3
• 音乐片段2数据 : https://gitee.com/tsinghuajoking/teaching-resources/raw/master/Signals&Systems/2022年/tear30.mp3

2.1.2 音乐数据处理

  分别按照如下信号运算，生成对应的音频数据，试听效果并存储成结果文件。

▲ 图2.1.1 对信号的运算

提示：对于离散信号使用差分替代微分操作。使用累加替代积分。
如果使用累加替代积分，请注意算法是否属于稳定系统，并讨论如何进行改进。

• 数据处理注意事项：

  1. 在MATLAB中使用audioread,audiowrite命令完成 音频文件的读取和存储。
  2. 在MATLAB中处理声音信号实际上是对连续声音信 号的离散采用数据进行处理。
  3. 对于音频信号的尺度变化，也可以试着改变音频 文件的采样率fs来达到同样的效果。

2.2 信号参数估计

2.2.1 背景介绍

  在第一次作业中的第二小题，练习了根据信号的波形写出对应信号的表达式。但在实际中，我们观测到的信号往往是在示波器上的波形，此时该如何获得这些波形的数学表达式？

  本质上讲，实际信号中都会带有随机性，是没有确定的数学表达式的。但在某些情况下，我们是预先知道信号的类型的，比如正弦波，但不知道信号的一些参数。例如幅值、频率和相位。如果这些参数知道了，便可以写出对应的信号数学表达式了。在这种情况下，从观测到的带有噪声的信号波形中回复处信号，则属于信号参数估计的内容了。

▲ 图2.2.1 显示信号波形的示波器

2.2.2 应用举例

  在实际应用中，信号的参数往往非常重要。下面举一个例子：

  如果手边只有一个万用表，但没有能够测量电容、电感的RCL桥，为了想知道一个电容器件的准确容值，可以将待测的电容与一个电阻串联在一起。电阻的阻值可以使用万用表精确测量。

▲ 图2.2.2 测量电路原理图

  使用一个信号源产生一个正弦波信号施加在RC串联电路上，使用示波器同时测量信号源的信号以及RC分压后的信号。

  根据电路原理，可以知道上述电路稳态输入输出正弦信号之间的关系如下：

  输入输出正弦信号的相位差为： $\theta$ 。那么有：$$\tan \theta =2\pi f\cdot RC$$

  所以，只要能够测量出U，V两个正弦信号的幅度或者相位，频率，再加上已知电阻阻值 $R_1$ ，便可以计算出来待测电容的容值。

  已知上面的串联电路中的电阻\nR\1.=1009欧姆。示波器显示波形的数值可以通过已经存储在CH12.MAT中，数值的采样时间间隔fs=10微妙。

▲ 图2.2.3 电路输入输出信号

2.2.3 数据下载

  从下面链接可以下载使用数字示波器 DS6104测量电路的输入输出信号。

• 信号估计数据 : https://gitee.com/tsinghuajoking/teaching-resources/raw/master/Signals&Systems/2022年/ch12.mat

  根据以上分析，求出待测电容 $C_1$ 的容值是多少？

提示:

1. 在MATLAB中通过load()命令读取CH12.MAT中的数据；
2. ch12(:,1) 是V的数据， ch12(:,2)是U的数据。
3. 使用MATLAB中fit命令来估计数据中的参数。
   f = fit(x,y,‘fourier1’)
4. 上面fit命令输出 f(x)=a0+a1cos(xw)+b1sin(xw)
   中的a0,a1,b1,w等参数。

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■ 相关文献链接:

• 信号与系统 2022 春季学期第二次作业
• 两份提交的作业对比
• We have solutions for your book!
• Question: 4. [6 pts] System Equations From Block Diagram. Find the differe
• 第七小题系统框图
• 初始松弛
• 音乐片段1数据
• 音乐片段2数据
• 信号估计数据

● 相关图表链接:

• 图1.1.1 第一小题
• 图1.1.2 第二小题
• 图1.1.3 第三小题
• 图1.1.4 第四小题
• 图1.2.1 本题中图（a）与图（b）信号波形
• [图1.3.1 本题对应的f(t),fn
• 图1.4.1 第一小题对应的连续时间系统框图
• 图1.4.2 第二小题对应的离散时间系统框图
• 图1.4.3 第三小题对应的系统框图
• 图1.4.4 第四小题对应的系统框图
• 图1.4.5 第五小题系统框图
• 图1.4.6 第六小题系统框图
• 图1.4.7 第七小题系统框图
• 图1.5.1 LTI系统的输入输出信号
• 图1.6.1 信号采样系统系统框图
• 图1.6.2 RC滤波电路
• 图1.8.1 三个子系统串联
• 图2.1.1 对信号的运算
• 图2.2.1 显示信号波形的示波器
• 图2.2.2 测量电路原理图
• 图2.2.3 电路输入输出信号