辅导视频SS2023 HW2：奇偶分解
信号的奇偶分解
01 奇偶分量
一、奇偶分量
将一个信号的函数表达式中的自变量取反， 对应的函数波形关于 y 轴左右翻转， 这个过程我们称为信号反褶。 信号经过反褶之后，有两种对称情况， 一种正好与它本身相同， 一种与它本身相差一个负号，也就是信号幅度关于 x 轴上下反褶。 对于满足信号反褶不变的信号， 我们称它为偶函数。 比如下面这个函数。 如果信号反褶后幅值取反， 我们称其为奇函数。 这里给出了一个奇函数的例子。 也有一些信号，既不是偶对称， 也不是奇对称。 但它却可以唯一的表示成一个偶函数和一个奇函数的叠加。 比如下面偶函数和奇函数叠加之后便可以得到上面的函数。 我们将信号分解成偶函数和奇函数的过程 称为信号的奇偶分解。
▲ 图1.1.1 信号进行奇偶分解
那么如何对任意信号进行奇偶分解呢？ 首先将信号进行反褶， 它的奇分量和偶分量也同时进行反褶。 在根据奇分量和偶分量左右对称性，可以知道反褶后，偶分量保持不变，奇分量幅值取反。 这样就得到了两个方程， 通过求解这两个方程， 可以分别得到偶分量和奇分量的表达式， 进行相应的操作之后， 将信号与其反褶相加后除以2，便可以得到信号的偶分量， 信号减去其反褶之后，除以二便可以得到信号的奇分量。 由此便可以对任意信号进行奇偶分量的分解了。
▲ 图1.1.2 信号奇偶分量分解
二、信号分解
这是第一小题信号波形，题目要求对其分解奇偶分量。 根据前面推导的方法，对该信号进行反褶。 将它们相加再去平均，便得到信号的偶分量。 将两者相减再除以 2，便得到信号的奇分量。 求解的过程比较简单，只是信号绘制起来稍微麻烦一点点。
这里给出了利用 Python 的绘图命令求解信号奇偶分量的程序。 这里定义了从 -2 到 2 之间 时间数组， 共计 10000 个时间点。 通过函数生成如题目所给定的信号波形。 这是按照题目中信号波形生成对应的信号数据， 其中包括一个在 -1 到 0 之间的线性函数， 一个在 0 到 0.5 之间的窗口函数。 这里定义了窗口函数， 使用了 heaviside 函数，即单位阶跃信号相减得到对应的窗口信号。 这是对信号进行反褶。 请注意，由于时间 t 数字是定义在左右对称的时间段上， 所以直接对函数值 ft 进行反褶就代表了对信号进行反褶了。 通过公式分别得到信号的奇分量、偶分量。 利用 matplotlib 中的绘图指令绘制信号波形， 将绘制好的信号显示出来。 修改程序中的 plot 命令中的参数， 依次将信号波形绘制显示出来。
▲ 图1.2.1 第一题对应的信号波形
第二小题是离散时间序列信号，求解它的奇分量、偶分量的方法与连续时间信号是相同的。 这里给出了奇偶分解的结果。 这是序列的偶分量。 这是对应的奇分量。 将信号的奇分量、偶分量相加，可以验证能够恢复到原来的信号。
▲ 图1.2.2 离散时间序列的奇分量和偶分量
这是利用Python绘图指令绘制序列波形的程序。 这里定义了序列的自变量序列。 按照题目给定的波形数值，写出对应的信号幅值。 使用其中 stem 指令绘制 火柴棒 对应的波形图。 最后定义信号的的坐标名称，显示序列波形。 计算信号的奇分量、偶分量的方法与前面连续时间信号相同。
在给定的选做题中也有两个需要进行奇偶分解的信号。 第一个是带有奇异函数的连续时间信号。 分解带有奇异函数信号的方法没有改变， 依然通过信号与其反褶的平均信号获得偶分量。 通过与其反褶的差值 除以二 获得奇分量。 对应的奇异信号的强度也减半了。 与正常信号叠加在一起， 这是奇分量， 包括一正一负两个冲击信号。
▲ 图1.2.3 带有奇异函数进行奇偶分解
第二道选做题是无限长序列， 是反向的单位阶跃序列。 使用同样方法进行奇偶分解， 得到双边无限长的偶分量， 已经对应的奇分量。
▲ 图1.2.4 无限长信号的奇偶分解
三、逆问题
作业中还包括一个奇偶分解的逆问题。 已知信号的偶分量， 又知道信号右半边信号波形，也就是信号的因果部分的波形。 要求求出信号本身的信号波形。
首先分析信号的右半边， 在 t 大于等于 0 时， 将信号的右半边减去偶分量的右半边， 可以获得信号奇分量的右半边。 然后再根据奇分量的对称性， 将其右半边信号旋转 180 度， 便可以得到左半边的波形。 这样便得到了信号奇分量的完整波形。 由于已知信号偶分量的波形， 将它们叠加在一起， 变可以获得信号完整的波形。 这是求解之后所得到的信号波形。 可以看到其右边波形于给定的波形是一致的。 由于这个波形较为复杂，这个参考答案是通过 Python 编程所获得到。
▲ 图1.3.1 信号的奇偶分量 以及信号本身
※ 总 结 ※
本文针对第二次作业中信号奇偶分解问题进行讨论。 信号奇偶分解算法比较简单， 对于复杂信号需要借助于软件辅助进行。
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