简 介： 对于学生在课后提出的关于全通系统的追问，推导出原来课件中存在的条件。这里的条件也完善了课件内容。对于学生的追问也令授课教师感到幸福。

关键词： 全通系统，RLC电路

 

§01 全通系统

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  在上周的“信号与系统”课上，讲述到系统的 频率特性 分析，涉及到 全通系统 的概念。也就是信号通过全通系统后，幅度谱不变，仅仅相位谱发生改变。其中列举的电路系统全通系统的例子，如下图所示。这个例子比较成熟，在很多教科书中都会涉及到。

^{▲ 全通系统示例}

  由于时间的原因，在课堂上并没有对于该全通电路系统进行详细介绍，仅仅介绍了它的结果。根据该系统系统函数对应的零点、极点关于虚轴对称分布的特点，可以得出信号通过该系统后，所有频率分量的幅度增益相同，相位随着频率的增益单调下降。

  作为全通系统的样例，在电路介绍的时候，在课件上并没有将电路中的所有条件进行列写出来。本以为由于该电路求解相对比较繁琐，并不会引起班上的学生的特别的重视。但还是样本学生在课后，对于这样的电路进行了推导，发现其中存在的问题。学生通过微信发送来疑问：

老师好，想问一个问题。此处的全通网络我认为是等效成一个交流电桥，然后利用戴维南定理计算传递函数，算出来是这个式子：


想问一下到底是哪个才对?而且ppt上给出的式子甚至没有电容C。

  且不论该学生自行推导的公式是否正确，至少这个全通电路系统引起了他的兴趣，并做了进一步的追问。

  审视在这个成熟的全通系统的用例，的确对于它原有的出处少量佐证，至少能够看到在原有课件中存在的缺少的条件。尽管没有在第一时间能够回答学生的提问，不过下面可以从问题的反方向来推导出上述电路系统成为全通系统的必要条件。

 

§02 对称电路系统

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  下面仅仅依靠有LC组成的对称网络，输出负载为电阻R，可以推导出电路网络的传递函数。为了方便，使用器件s域模型，将原来的动态电路网络转换成变换域内的电阻网络。

  首先根据对称的LC网络，将其重新整理成对称的交流电桥的形式。输出负载R就是电桥中点电压的负载。

  下图显示了全通网络整理后的H桥接的形式。为了简化电路的求解，利用 戴维宁定理（Thevenin’s Theorem） 将电桥两边分别等效成电压源与电抗的串联形式。

  电路的等效性是如下图所示。两边的等效电路中，恒压源$U_1\left(s\right),U_2\left(s\right)$为输出开路时对应的LC分压数值。电压源内阻$X_1,X_2$为从网络输入端口处的交流电阻。因此可以分别计算出$U_1\left(s\right),U_2\left(s\right)$以及$X_1,X_2$，然后利用电阻网络分压定理计算出输出电压信号$U_{out}\left(s\right)$。

  两个$U_1\left(s\right),U_2\left(s\right)$的数值为：

$$U_1\left(s\right)=\frac{\frac{1}{Cs}U\left(s\right)}{Ls+\frac{1}{Cs}}=\frac{1}{LC{s}^2+1}U\left(s\right)$$

$$U_2\left(s\right)=\frac{Ls\cdot U\left(s\right)}{Ls+\frac{1}{Cs}}=\frac{LC{s}^2\cdot U\left(s\right)}{LC{s}^2+1}$$

  两个内阻相同，它们等于：
$$X_1=X_2=\frac{Ls\cdot \frac{1}{Cs}}{Ls+\frac{1}{Cs}}=\frac{Ls}{LC{s}^2+1}$$

  那么作用在电阻$R$上的输出电压$U_{out}\left(s\right)$为：

$$U_{out}\left(s\right)=\frac{R}{R+X_1+X_2}\left[U_1\left(s\right)-U_2\left(s\right)\right]$$$$=\frac{R}{R+X_1+X_2}\cdot \frac{1-LC{s}^2}{1+LC{s}^2}\cdot U\left(s\right)$$$$=\frac{R}{R+\frac{2Ls}{LC{s}^2+1}}\cdot \frac{1-LC{s}^2}{1+LC{s}^2}\cdot U\left(s\right)$$$$=\frac{R\left(1-LC{s}^2\right)}{R\left(1+LC{s}^2\right)+2Ls}\cdot U\left(s\right)$$

  所以该系统的传递函数为：

$$H\left(s\right)=\frac{R\left(1-LC{s}^2\right)}{R\left(1+LC{s}^2\right)+2Ls}=\frac{R\left(1-\sqrt{LC}\cdot s\right)\left(1+\sqrt{LC}\cdot s\right)}{RLC{s}^2+2L\cdot s+R}$$

$$H\left(s\right)=\frac{RLC\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}-s\right)\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}+s\right)}{RLC\left(s^2+\frac{2}{RC}s+\frac{1}{LC}\right)}=\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}-s\right)\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{LC}}+s\right)}{s^2+\frac{2}{RC}s+\frac{1}{LC}}$$

  从上面可以看出，如果希望希望网络能够最终形成只有一对零点、极点z形成虚轴左右对称关系，组成全通系统，那么只有将分母配置成在实轴上的2阶重根，与分子抵消一个位于左半复平面的零点之后，便可以最终剩下一对关于虚轴左右对称的零极点了。所以需要有如下$R,L,C$的数值关系：

$$\frac{1}{RC}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\to R=\sqrt{\frac{L}{C}}$$

  由此，可以将分母配置成一个2重根的表达式：

$$s^2+\frac{2}{RC}s+\frac{1}{LC}={\left(s+\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)}^2$$

  这样与分子抵消一个零点之后，最终形成了电路传递函数的有理分式。其中对应的零点和极点关于虚轴对称，系统满足全通系统的要求。

$$H\left(s\right)=\frac{s-\frac{1}{\sqrt{LC}}}{s+\frac{1}{\sqrt{LC}}}=\frac{1-\sqrt{LC}\cdot s}{1+\sqrt{LC}\cdot s}=\frac{R-s\cdot L}{R+s\cdot L}$$

  因此从上述推导来看，在原来的课件中的确少了一个条件，也就是前面给出的$R,L,C$之间的关系。

 

§03 讨论总结

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  上面讨论过程，一方面补充了原来课件中少列些出的电路条件，另外也算给提问学生做了一个简要的回答。在讲课过程中的一些细节能够引起学生的注意和追问，的确是作为一个教师所能感受到乐趣。再次感谢追问课件中问题的学生。

 

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■ 相关文献链接:

• 频率特性
• 全通系统
• 戴维宁定理（Thevenin’s Theorem）