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2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第七小题

系统 2021 信号 作业 春季 参考答案 学期 第二次
2023-09-11 14:15:21 时间


本文是 2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案 的参考答案。

 

▌第七题

7. 判断下列系统是否可逆。若可逆，给出它的逆系统；若不可逆，指出使该系统产生相同输出的两个输入信号。

判断系统是否可逆，可以根据是否能够举出两个不相同的信号，它们对应的输出是相同的，则对应的系统是不可逆的系统。否则就是可逆系统。

（1）

r ( t ) = e ( t − 5 ) r\left( t \right) = e\left( {t - 5} \right) r(t)=e(t−5)

求解:

系统是可逆系统。它的逆系统为：
R ( t ) = e ( t + 5 ) R\left( t \right) = e\left( {t + 5} \right) R(t)=e(t+5)

（2）

r ( t ) = d d t e ( t ) r\left( t \right) = {d \over {dt}}e\left( t \right) r(t)=dtd​e(t)

注：没有对于 e ( − ∞ ) e\left( { - \infty } \right) e(−∞)是否为0进行规定。

求解：

该系统为不可逆系统。比如对于两个不同的输入：
e 1 ( t ) = sin ⁡ ( t ) e_1 \left( t \right) = \sin \left( t \right) e1​(t)=sin(t) e 2 ( t ) = sin ⁡ ( t ) + 1 e_2 \left( t \right) = \sin \left( t \right) + 1 e2​(t)=sin(t)+1

它们的微分结果是相同的。

（3）

r ( t ) = ∫ − ∞ t e ( τ ) d τ r\left( t \right)=\int_{ - \infty }^t {e\left( \tau \right)d\tau } r(t)=∫−∞t​e(τ)dτ

求解：

系统是可逆系统。它的逆系统为：
R ( t ) = d d t e ( t ) R\left( t \right) = {d \over {dt}}e\left( t \right) R(t)=dtd​e(t)

（4）

r ( t ) = e ( 2 t ) r\left( t \right) = e\left( {2t} \right) r(t)=e(2t)

注：如果是离散时间系统： r [ n ] = e [ 2 n ] r\left[ n \right] = e\left[ {2n} \right] r[n]=e[2n]，则系统不再是可逆系统。因为输入信号的奇数位置的数据被压缩丢失了。因此无法从系统的输入复原这部分信息。

因此对于两个不同的序列，它们的偶数位置数据相同，但奇数位置的数据不同。通过 r [ n ] = e [ 2 n ] r\left[ n \right] = e\left[ {2n} \right] r[n]=e[2n]之后，系统的输出相同。所以离散时间抽点压缩系统不可逆。

求解：

系统是可逆系统，逆系统为：
r ( t ) = e ( t 2 ) r\left( t \right) = e\left( {{t \over 2}} \right) r(t)=e(2t​)

（5）

求解：

系统是不可逆系统。实际上，它将原来序列 x [ n ] x\left[ n \right] x[n]中的 x [ 0 ] x\left[ 0 \right] x[0]给丢失了。所以对于两个序列 x 1 [ n ] , x 2 [ n ] x_1 \left[ n \right],x_2 \left[ n \right] x1​[n],x2​[n]，它们在 n = 0 n = 0 n=0时的取值不同，即： x 1 [ 0 ] ≠ x 2 [ 0 ] x_1 \left[ 0 \right] \ne x_2 \left[ 0 \right] x1​[0]​=x2​[0]，那么两个序列不相同， x 1 [ n ] ≠ x 2 [ n ] x_1 \left[ n \right] \ne x_2 \left[ n \right] x1​[n]​=x2​[n]。但是对于这两个信号，它们所对应的系统输出却相同。所以，系统是不可逆系统。

（6）

y [ n ] = x [ n ] ⋅ x [ n − 1 ] y\left[ n \right] = x\left[ n \right] \cdot x\left[ {n - 1} \right] y[n]=x[n]⋅x[n−1]

求解：

系统是不可逆系统。

对于两个不同的输入信号： x 1 [ n ] = δ [ n ] ,    x 2 [ n ] = δ [ n − 1 ] x_1 \left[ n \right] = \delta \left[ n \right],\,\,x_2 \left[ n \right] = \delta \left[ {n - 1} \right] x1​[n]=δ[n],x2​[n]=δ[n−1]

它们对应系统输出都等于0，所以系统是不可逆的系统。

 

※ 附录

■ 相关文献链接:

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