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2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案-第一道题

系统 2021 信号 作业 春季 参考答案 学期 第三次
2023-09-11 14:15:21 时间


本文是 2021年春季学期-信号与系统-第三次作业参考答案 中的参考答案。

 

▌第一道题

1. 列写描述下面两个电路的激励信号 e ( t ) e\left( t \right) e(t)与输出信号 v 0 ( t ) v_0 \left( t \right) v0​(t)之间的微分方程。

求解：

（1）第一小题（a）

对于（a）所示的电路图，列写网孔电流方程：

2 i 1 ( t ) + d i 1 ( t ) d t + ∫ − ∞ t i 1 ( τ ) d τ − ∫ − ∞ t i 2 ( τ ) d τ = e ( t ) 2i_1 \left( t \right) + {{di_1 \left( t \right)} \over {dt}} + \int_{ - \infty }^t {i_1 \left( \tau \right)d\tau } - \int_{ - \infty }^t {i_2 \left( \tau \right)d\tau } = e\left( t \right) 2i1​(t)+dtdi1​(t)​+∫−∞t​i1​(τ)dτ−∫−∞t​i2​(τ)dτ=e(t)
∫ − ∞ t [ i 2 ( t ) − i 1 ( τ ) ] d τ + i 2 ( τ ) = − v 0 ( t ) \int_{ - \infty }^t {\left[ {i_2 \left( t \right) - i_1 \left( \tau \right)} \right]d\tau } + i_2 \left( \tau \right) = - v_0 \left( t \right) ∫−∞t​[i2​(t)−i1​(τ)]dτ+i2​(τ)=−v0​(t)
又：
v 2 ( t ) = 2 d i 2 ( t ) d t v_2 \left( t \right) = 2{{di_2 \left( t \right)} \over {dt}} v2​(t)=2dtdi2​(t)​

经过消去 i 1 ( t ) , i 2 ( t ) i_1 \left( t \right),i_2 \left( t \right) i1​(t),i2​(t)可以得到电路的输入输出方程为：
2 d 2 d t 3 v o ( t ) + 5 d 2 d t 2 v 0 ( t ) + 5 d d t v 0 ( t ) + 3 v o ( t ) = 2 d d t e ( t ) 2{{d^2 } \over {dt^3 }}v_o \left( t \right) + 5{{d^2 } \over {dt^2 }}v_0 \left( t \right) + 5{d \over {dt}}v_0 \left( t \right) + 3v_o \left( t \right) = 2{d \over {dt}}e\left( t \right) 2dt3d2​vo​(t)+5dt2d2​v0​(t)+5dtd​v0​(t)+3vo​(t)=2dtd​e(t)

（2）第二小题（b）

这是一个带有互感的电路，根据原边回路电压与副边回路电压列写回路电压方程：

1 C ∫ − ∞ t i 1 ( τ ) d τ + L d i 1 ( t ) d t + M d i 2 ( t ) d t + R i 1 ( t ) = e ( t ) {1 \over C}\int_{ - \infty }^t {i_1 \left( \tau \right)d\tau } + L{{di_1 \left( t \right)} \over {dt}} + M{{di_2 \left( t \right)} \over {dt}} + Ri_1 \left( t \right) = e\left( t \right) C1​∫−∞t​i1​(τ)dτ+Ldtdi1​(t)​+Mdtdi2​(t)​+Ri1​(t)=e(t)
1 C ∫ − ∞ t i 2 ( τ ) d τ + L d i 2 ( t ) d t + M d i 1 ( t ) d t + R i 2 ( t ) = 0 {1 \over C}\int_{ - \infty }^t {i_2 \left( \tau \right)d\tau } + L{{di_2 \left( t \right)} \over {dt}} + M{{di_1 \left( t \right)} \over {dt}} + Ri_2 \left( t \right) = 0 C1​∫−∞t​i2​(τ)dτ+Ldtdi2​(t)​+Mdtdi1​(t)​+Ri2​(t)=0

输出电压为：
− R i 2 ( t ) = v 0 ( t ) - Ri_2 \left( t \right) = v_0 \left( t \right) −Ri2​(t)=v0​(t)

经过消去 i 1 ( t ) , i 2 ( t ) i_1 \left( t \right),i_2 \left( t \right) i1​(t),i2​(t)可以得到电路的输入输出方程：

( L 2 − M 2 ) d 4 d t 4 v o ( t ) + 2 R L d 3 d t 3 v o ( t ) + ( 2 L C + R 2 ) d 2 d t 2 v o ( t ) + 2 R C d d t v o ( t ) + 1 C 2 v o ( t ) = M R d 2 d t 2 e ( t ) \left( {L^2 - M^2 } \right){{d^4 } \over {dt^4 }}v_o \left( t \right) + 2RL{{d^3 } \over {dt^3 }}v_o \left( t \right) + \left( {{{2L} \over C} + R^2 } \right){{d^2 } \over {dt^2 }}v_o \left( t \right) + {{2R} \over C}{d \over {dt}}v_o \left( t \right) + {1 \over {C^2 }}v_o \left( t \right) = MR{{d^2 } \over {dt^2 }}e\left( t \right) (L2−M2)dt4d4​vo​(t)+2RLdt3d3​vo​(t)+(C2L​+R2)dt2d2​vo​(t)+C2R​dtd​vo​(t)+C21​vo​(t)=MRdt2d2​e(t)

 

※ 附录

■ 相关文献链接:

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