信号与系统 2023（春季） 作业参考答案 - 第四次作业
01 基础练习
一、卷积运算
1、根据公式求解卷积
（1）必做题
◎ 求解：
（1）
（2）
from headm import *
from sympy import symbols,simplify,expand,print_latex
from sympy import *
s,t = symbols('s,t')
f = exp(-t)
f1 = laplace_transform(exp(-t), t, s, noconds=True)
f2 = laplace_transform(exp(-3*t), t, s, noconds=True)
f = inverse_laplace_transform(f1*f2, s, t)
( e 2 t − 1 ) e − 3 t θ ( t ) 2 {{\left( {e^{2t} - 1} \right)e^{ - 3t} \theta \left( t \right)} \over 2} 2(e2t−1)e−3tθ(t)
（3）
根据卷积公式，将 f 1 ( t ) , f 2 ( t ) f_1 \left( t \right),f_2 \left( t \right) f1(t),f2(t) 代入卷积公式，将其展开，形成四项积分表达式：
第一项积分结果为：
第二项积分结果为：
第三项积分结果为：
第四项积分结果为：
根据不同的时间段，合并上面各项多项式，得到卷积的解：
卷积结果信号波形图：
▲ 图1.1.1 函数卷积结果
from headm import *
def G(t, startn, endn):
return heaviside(t-startn,0)-heaviside(t-endn,0)
def Gt(t, center, width):
startn = center-width/2
endn = startn + width
return heaviside(t-startn,0.5)-heaviside(t-endn,0.5)
t = linspace(0, 6, 100000)
ratio = (max(t)-min(t))/len(t)
f1 = (t-1)*G(t,1,3)
f2 = G(t, 0, 1)
f = (1/2*t**2-t+1/2) * G(t,1,2) + \
(t-3/2) * G(t,2,3) + \
(-1/2*t**2+2*t) * G(t,3,4)
plt.plot(t, f1, lw=1, label='f1(t)')
plt.plot(t, f2, lw=1, label='f2(t)')
plt.plot(t, f, lw=3, label='f1*f2(t)')
plt.axis([min(t)-0.5,max(t)+0.5, -0.5, 2.5])
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.legend(loc="upper right")
plt.tight_layout()
plt.show()
（4）
（5）
（2）选做题
◎ 求解：
（1）
上面表达式中四个积分值分别为：
根据四个不同的时间阶段， 合并上面四个积分表达式，得到卷积的结果：
（2）
（3）
根据 f 2 ( t ) = δ ′ ( t + 2 ) − δ ′ ( t − 2 ) f_2 \left( t \right) = \delta '\left( {t + 2} \right) - \delta '\left( {t - 2} \right) f2(t)=δ′(t+2)−δ′(t−2) ，可以知道：
再根据 f 1 ( t ) f_1 \left( t \right) f1(t) 的表达式，求导后可得：
所以卷积结果为：
▲ 图1.1.2 卷积结果信号波形
2、图解方法求解卷积
（1）必做题
◎ 求解：
取 f 2 ( t ) f_2 \left( t \right) f2(t) 进行反褶， 下面分成几个时间段分别求解卷积结果。
当 t < 0 t < 0 t<0 时， f 1 ( τ ) , f 2 ( t − τ ) f_1 \left( \tau \right),f_2 \left( {t - \tau } \right) f1(τ),f2(t−τ) 没有重叠，卷积结果 f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = 0 f_1 \left( t \right) * f_2 \left( t \right) = 0 f1(t)∗f2(t)=0 。
当 0 ≤ t < 1 0 \le t < 1 0≤t<1 时， f 1 ( τ ) , f 2 ( t − τ ) f_1 \left( \tau \right),f_2 \left( {t - \tau } \right) f1(τ),f2(t−τ) 部分重合，
当 t ≥ 1 t \ge 1 t≥1 时， f 1 ( τ ) , f 2 ( t − τ ) f_1 \left( \tau \right),f_2 \left( {t - \tau } \right) f1(τ),f2(t−τ) 完全重合，卷积结果为：
所以，卷积结果为：
卷积结果信号波形：
▲ 图1.1.3 卷积结果信号波形
def G(t, startn, endn):
return heaviside(t-startn,0)-heaviside(t-endn,0)
def Gt(t, center, width):
startn = center-width/2
endn = startn + width
return heaviside(t-startn,0.5)-heaviside(t-endn,0.5)
t = linspace(0, 4, 10000)
ratio = (max(t)-min(t))/len(t)
f1 = exp(-2*t) * heaviside(t,0.5)
f2 = G(t,0,1)
#f = convolve(f1,f2)[:len(t)]*ratio
f = (exp(-2*(t-1))-exp(-2*t))/2*heaviside(t-1,0.5)+(1-exp(-2*t))*G(t,0,1)/2
plt.plot(t, f1, lw=1, label='f1(t)')
plt.plot(t, f2, lw=1, label="f2(t)")
plt.plot(t, f, lw=3, label="f(t)")
plt.axis([min(t)-0.5,max(t)+0.5, -.5, 2])
（2）选做题
◎ 求解：
下面分别绘制出系统的单位冲激响应信号 h ( t ) h\left( t \right) h(t) 与输入信号的波形。通过求解 h ( t ) ∗ x ( t ) h\left( t \right) * x\left( t \right) h(t)∗x(t) 来获得系统零状态响应。
根据题目要求，将 h ( t ) h\left( t \right) h(t) 进行反褶，准备进行卷积。
根据 h ( t ) , x ( t ) h\left( t \right),x\left( t \right) h(t),x(t) 波形的特点，把卷积过程分成以下五个阶段。使用图解方法来确定每个阶段的积分上下限。
- 阶段1： t < 0 t < 0 t<0
在此阶段，
h
(
t
−
τ
)
,
x
(
τ
)
h\left( {t - \tau } \right),x\left( \tau \right)
h(t−τ),x(τ) 之间没有重叠，所以
h
(
t
)
∗
x
(
t
)
=
0
h\left( t \right) * x\left( t \right) = 0
h(t)∗x(t)=0 。
- 阶段2： 0 ≤ t < 1 0 \le t < 1 0≤t<1
在此阶段，
h
(
t
)
,
x
(
t
)
h\left( t \right),x\left( t \right)
h(t),x(t) 之间有重叠，重叠区域为
τ
∈
(
0
,
t
)
\tau \in \left( {0,t} \right)
τ∈(0,t) 。所以
h ( t ) ∗ x ( t ) = ∫ 0 t e − ( t − τ ) ⋅ τ ⋅ d τ = e − t ∫ 0 t τ ⋅ d e τ h\left( t \right) * x\left( t \right) = \int_0^t {e^{ - \left( {t - \tau } \right)} \cdot \tau \cdot d\tau } = e^{ - t} \int_0^t {\tau \cdot de^\tau } h(t)∗x(t)=∫0te−(t−τ)⋅τ⋅dτ=e−t∫0tτ⋅deτ = e − t ⋅ ( τ ⋅ e τ ) ∣ 0 t − e − t ∫ 0 t e τ d τ = e^{ - t} \cdot \left. {\left( {\tau \cdot e^\tau } \right)} \right|_0^t - e^{ - t} \int_0^t {e^\tau d\tau } =e−t⋅(τ⋅eτ)∣0t−e−t∫0teτdτ = e − t ( t ⋅ e t − 0 ) − e − t ⋅ ( e τ ) ∣ 0 t = e^{ - t} \left( {t \cdot e^t - 0} \right) - e^{ - t} \cdot \left. {\left( {e^\tau } \right)} \right|_0^t =e−t(t⋅et−0)−e−t⋅(eτ)∣0t = t − e − t ⋅ ( e t − 1 ) = t − 1 + e − t = t - e^{ - t} \cdot \left( {e^t - 1} \right) = t - 1 + e^{ - t} =t−e−t⋅(et−1)=t−1+e−t
- 阶段3： 1 ≤ t < 2 1 \le t < 2 1≤t<2
在这个阶段，
h
(
t
)
,
x
(
t
)
h\left( t \right),x\left( t \right)
h(t),x(t) 之间的重合区域为
τ
∈
(
t
−
1
,
t
)
\tau \in \left( {t - 1,t} \right)
τ∈(t−1,t) 。这个区域计算卷积积分需要分成两个区间：
(
t
−
1
,
1
)
\left( {t - 1,1} \right)
(t−1,1) 和
(
1
,
t
)
\left( {1,t} \right)
(1,t) 。
在区间 ( t − 1 , 1 ) \left( {t - 1,1} \right) (t−1,1) 上的积分为
∫ t − 1 1 e − ( t − τ ) ⋅ τ ⋅ d τ = e − t ⋅ ∫ t − 1 1 τ d e τ = e − t ⋅ τ e τ ∣ t − 1 1 − e − t ⋅ e τ ∣ t − 1 1 \int_{t - 1}^1 {e^{ - \left( {t - \tau } \right)} \cdot \tau \cdot d\tau } = e^{ - t} \cdot \int_{t - 1}^1 {\tau de^\tau } = e^{ - t} \cdot \left. {\tau e^\tau } \right|_{t - 1}^1 - e^{ - t} \cdot \left. {e^\tau } \right|_{t - 1}^1 ∫t−11e−(t−τ)⋅τ⋅dτ=e−t⋅∫t−11τdeτ=e−t⋅τeτ∣t−11−e−t⋅eτ∣t−11 = e − t [ e 1 − ( t − 1 ) e t − 1 ] − e − t ( e 1 − e t − 1 ) = e^{ - t} \left[ {e^1 - \left( {t - 1} \right)^{e^{t - 1} } } \right] - e^{ - t} \left( {e^1 - e^{t - 1} } \right) =e−t[e1−(t−1)et−1]−e−t(e1−et−1) = e 1 − t − t ⋅ e − 1 + e − 1 − e 1 − t + e − 1 = 2 e − 1 − t ⋅ e − 1 = e^{1 - t} - t \cdot e^{ - 1} + e^{ - 1} - e^{1 - t} + e^{ - 1} = 2e^{ - 1} - t \cdot e^{ - 1} =e1−t−t⋅e−1+e−1−e1−t+e−1=2e−1−t⋅e−1
在区间 ( 1 , t ) \left( {1,t} \right) (1,t) 上的积分为
∫ 1 t e − ( t − τ ) d τ = e − t ⋅ e τ ∣ 1 t = e − t ( e t − e 1 ) = 1 − e 1 − t \int_1^t {e^{ - \left( {t - \tau } \right)} d\tau } = e^{ - t} \cdot \left. {e^\tau } \right|_1^t = e^{ - t} \left( {e^t - e^1 } \right) = 1 - e^{1 - t} ∫1te−(t−τ)dτ=e−t⋅eτ∣1t=e−t(et−e1)=1−e1−t
将上面两部分合并在一起，卷积结果为
h ( t ) ∗ x ( t ) = 1 + 2 e − 1 − t ⋅ e − 1 − e 1 − t h\left( t \right) * x\left( t \right) = 1 + 2e^{ - 1} - t \cdot e^{ - 1} - e^{1 - t} h(t)∗x(t)=1+2e−1−t⋅e−1−e1−t
- 阶段4： 2 ≤ t < 3 2 \le t < 3 2≤t<3
在这个阶段，
h
(
t
)
,
x
(
t
)
h\left( t \right),x\left( t \right)
h(t),x(t) 之间的重叠区域为
τ
∈
(
t
−
1
,
2
)
\tau \in \left( {t - 1,2} \right)
τ∈(t−1,2) 。卷积积分为
∫ t − 1 2 e − ( t − τ ) d τ = e − t ⋅ e τ ∣ t − 1 2 = e − t ⋅ ( e 2 − e t − 1 ) = e 2 − t − e − 1 \int_{t - 1}^2 {e^{ - \left( {t - \tau } \right)} d\tau } = e^{ - t} \cdot \left. {e^\tau } \right|_{t - 1}^2 = e^{ - t} \cdot \left( {e^2 - e^{t - 1} } \right) = e^{2 - t} - e^{ - 1} ∫t−12e−(t−τ)dτ=e−t⋅eτ∣t−12=e−t⋅(e2−et−1)=e2−t−e−1
- 阶段5： t > 3 t > 3 t>3
在此阶段， h ( t ) , x ( t ) h\left( t \right),x\left( t \right) h(t),x(t) 之间没有重合，卷积结果等于0。
综合上面五个阶段的卷积结果，可以的得到：
h ( t ) ∗ x ( t ) = { 0 , t < 0 t − 1 + e − t , 0 ≤ t < 1 1 + 2 e − 1 − t ⋅ e − 1 − e 1 − t , 1 ≤ t < 2 e 2 − t − e − 1 , 2 ≤ t < 3 0 , t ≥ 3 a h\left( t \right) * x\left( t \right) = \left\{ \begin{matrix} {0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t < 0}\\{t - 1 + e^{ - t} ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \le t < 1}\\{1 + 2e^{ - 1} - t \cdot e^{ - 1} - e^{1 - t} ,\,\,\,\,1 \le t < 2}\\{e^{2 - t} - e^{ - 1} ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \le t < 3}\\{0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t \ge 3}\\\end{matrix} \right.a h(t)∗x(t)=⎩ ⎨ ⎧0,t<0t−1+e−t,0≤t<11+2e−1−t⋅e−1−e1−t,1≤t<2e2−t−e−1,2≤t<30,t≥3a
下面利用Python程序绘制上述两个信号的卷积结果。
t = linspace(-0.5, 3.5, 500)
value = ((t-1+exp(-t))*(heaviside(t,0.5)-heaviside(t-1,0.5)) +
(1+2*exp(-1)-t*exp(-1)-exp(1-t))*(heaviside(t-1,0.5)-heaviside(t-2,0.5)) +
(exp(2-t)-exp(-1))*(heaviside(t-2,0.5)-heaviside(t-3,0.5)))
plt.plot(t, value)
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("h(t)*x(t)")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
绘制的卷积结果为：
为了验证求取的函数表达式是否正确，下面使用数值积分来求解 x ( t ) ∗ h ( t ) x\left( t \right) * h\left( t \right) x(t)∗h(t) 。
x = list([1]*500*linspace(0,1,500,endpoint=True)) + [1]*500
h = exp(-linspace(0,1,500,endpoint=True))
xh = convolve(x,h)/500
plt.plot(linspace(0,3,1499,endpoint=True), xh)
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("Value")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
最后一道题，如果需要降低难度，可以把 h ( t ) h\left( t \right) h(t) 修改成方波： h ( t ) = u ( t ) − u ( t − 1 ) h\left( t \right) = u\left( t \right) - u\left( {t - 1} \right) h(t)=u(t)−u(t−1) ，整个求解过程就会降低很大的难度。
3、求解序列的卷积和
◎ 解答：
（1）必做题
（1）
卷积结果为： y [ n ] = { 0.5 , 3 , 6 , 6.25 , 3 , 0.5 } y\left[ n \right] = \left\{ {0.5,3,6,6.25,3,0.5} \right\} y[n]={0.5,3,6,6.25,3,0.5}
其中第一项对应 n = − 1 n = - 1 n=−1 。
▲ 图1.1.11 卷积结果序列波形
（2）选做题
（1）
卷积结果为： y [ n ] = { 1 , 2.5 , 1 , 1 , 3 , 2.5 , 1 , 1 , 2 } y\left[ n \right] = \left\{ {1,2.5,1,1,3,2.5,1,1,2} \right\} y[n]={1,2.5,1,1,3,2.5,1,1,2}
其中第一项对应 n = − 3 n = - 3 n=−3 。
▲ 图1.1.12 卷积结果序列波形
from headm import *
xdim = [1, 2.5,1,1,2]
hdim = [1,0,0,0,1]
hxdim = convolve(xdim, hdim)
printf(hxdim)
dim = [0,0]+ list(hxdim) + [0,0]
n = list(range(len(dim)))
markerline,_,_ = plt.stem(n, dim)
plt.setp(markerline, markersize=10)
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("dim")
plt.axis([min(n)-0.5, max(n)+0.5, -1.5, 5])
plt.grid(True)
plt.grid(False)
plt.tight_layout()
plt.show()
4、求解卷积数值
◎ 解答：
（1）必做题
▲ 图1.1.13 卷积结果信号波形
from headm import *
def G(t, startn, endn):
return heaviside(t-startn,0)-heaviside(t-endn,0)
def Gt(t, center, width):
startn = center-width/2
endn = startn + width
return heaviside(t-startn,0.5)-heaviside(t-endn,0.5)
t = linspace(-3.5, 5, 10000)
ratio = (max(t)-min(t))/len(t)
f1 = -t*G(t,-1,0) + t*G(t,0,1)
f2 = 2*G(t,-2,0) + G(t, 0,1) - G(t, 1, 3)
sn = int(3.5/(max(t)-min(t))*len(t))
f = convolve(f1,f2)[sn:sn+len(t)]*ratio
plt.plot(t, f1, lw=1, label='f1(t)')
plt.plot(t, f2, lw=1, label="f2(t)")
plt.plot(t, f, lw=3, label="f(t)")
plt.axis([min(t)-0.5,max(t)+0.5, -1.5, 3])
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.legend(loc="upper right")
plt.tight_layout()
plt.show()
（2）选做题
根据卷积微分性质，可以知道
▲ 图1.1.14 卷积结果导数的信号波形
5、使用卷积分解信号
◎ 求解：
由于 f ( t ) f\left( t \right) f(t) 是梯形， 可以使用一宽一窄两个矩形信号的卷积来获得 f ( t ) f\left( t \right) f(t) 。 根据梯形的线性上升沿的宽度为 1， 所以其中窄矩形信号的宽度为 1， 宽矩形信号的宽度为 3。
题目中要求两个矩形信号的高度相同， 这里假设它们高度都为 D D D 。 卷积结果梯形的高度为： D 2 = 2 D^2 = 2 D2=2 。所以 D = 2 D = \sqrt 2 D=2 。
下图显示了参与卷积的两个矩形信号以及它们卷积结果信号波形。
▲ 图1.1.15 信号的波形图
二、解卷积
1、必做题
◎ 求解：
（1） 求解 h [ n ] h\left[ n \right] h[n]
利用离散序列的反卷积算法， 一次求出 h [ n ] h\left[ n \right] h[n] 前面若干项数值，然后通过归纳方法求出 h [ n ] h\left[ n \right] h[n] 的一般表达式。
对于两个因果离散序列 x [ n ] , h [ n ] x\left[ n \right],h\left[ n \right] x[n],h[n] ，它们的卷积为 y [ n ] = x [ n ] ∗ h [ n ] = ∑ m = 0 n h [ m ] x [ n − m ] = ∑ m = 0 n − 1 h [ m ] x [ n − m ] + h [ n ] x [ 0 ] y\left[ n \right] = x\left[ n \right] * h\left[ n \right] = \sum\limits_{m = 0}^n {h\left[ m \right]x\left[ {n - m} \right]} = \sum\limits_{m = 0}^{n - 1} {h\left[ m \right]x\left[ {n - m} \right]} + h\left[ n \right]x\left[ 0 \right] y[n]=x[n]∗h[n]=m=0∑nh[m]x[n−m]=m=0∑n−1h[m]x[n−m]+h[n]x[0] 因此，计算 h [ n ] h\left[ n \right] h[n] 的递归方程为 h [ n ] = 1 x [ 0 ] { y [ n ] − ∑ m = 0 n − 1 h [ m ] x [ n − m ] } h\left[ n \right] = {1 \over {x\left[ 0 \right]}}\left\{ {y\left[ n \right] - \sum\limits_{m = 0}^{n - 1} {h\left[ m \right]x\left[ {n - m} \right]} } \right\} h[n]=x[0]1{y[n]−m=0∑n−1h[m]x[n−m]} 根据题目中给定的 x [ n ] , y [ n ] x\left[ n \right],y\left[ n \right] x[n],y[n] 的表达式 h [ n ] = ( − 1 2 ) n − ∑ m = 0 n − 1 h [ m ] x [ n − m ] = ( − 1 2 ) n − h [ n − 1 ] ( − 1 2 ) h\left[ n \right] = \left( { - {1 \over 2}} \right)^n - \sum\limits_{m = 0}^{n - 1} {h\left[ m \right]x\left[ {n - m} \right]} = \left( { - {1 \over 2}} \right)^n - h\left[ {n - 1} \right]\left( { - {1 \over 2}} \right) h[n]=(−21)n−m=0∑n−1h[m]x[n−m]=(−21)n−h[n−1](−21) 所以 h [ n ] h\left[ n \right] h[n] 满足的差分方程为 h [ n ] − 1 2 h [ n − 1 ] = ( − 1 2 ) n ⋅ u [ n ] h\left[ n \right] - {1 \over 2}h\left[ {n - 1} \right] = \left( { - {1 \over 2}} \right)^n \cdot u\left[ n \right] h[n]−21h[n−1]=(−21)n⋅u[n] 根据 h [ n ] h\left[ n \right] h[n] 满足的差分方程，可以迭代出它的前若干项的取值
hn = 0
for i in range(10):
hn = 0.5*hn+(-0.5)**i
printf(hn)
1.0
0.0
0.25
0.0
0.0625
0.0
0.015625
0.0
0.00390625
0.0
从前10像 h [ n ] h\left[ n \right] h[n] 的取值，很容易归纳出 h [ n ] = { 1 / 2 n , n ∈ e v e n 0 , n ∈ o d d h\begin{bmatrix} n \end{bmatrix} = \left\{ \begin{matrix} {1/2^n ,\,\,\,n \in even}\\{0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n \in odd}\\\end{matrix} \right. h[n]={1/2n,n∈even0,n∈odd
（2） 通过前面给出的 h [ n ] h\left[ n \right] h[n] 的迭代公式 h [ n ] − 1 2 h [ n − 1 ] = ( − 1 2 ) n ⋅ u [ n ] h\left[ n \right] - {1 \over 2}h\left[ {n - 1} \right] = \left( { - {1 \over 2}} \right)^n \cdot u\left[ n \right] h[n]−21h[n−1]=(−21)n⋅u[n] − 1 2 h [ n − 1 ] + 1 4 h [ n − 2 ] = ( − 1 2 ) n u [ n − 1 ] - {1 \over 2}h\left[ {n - 1} \right] + {1 \over 4}h\left[ {n - 2} \right] = \left( { - {1 \over 2}} \right)^n u\left[ {n - 1} \right] −21h[n−1]+41h[n−2]=(−21)nu[n−1]两个式子相减可得 h [ n ] − 1 4 h [ n − 2 ] = δ [ n ] h\left[ n \right] - {1 \over 4}h\left[ {n - 2} \right] = \delta \left[ n \right] h[n]−41h[n−2]=δ[n] 两边同时卷积 x [ n ] x\left[ n \right] x[n] 可得 y [ n ] − 1 4 y [ n − 2 ] = x [ n ] y\left[ n \right] - {1 \over 4}y\left[ {n - 2} \right] = x\left[ n \right] y[n]−41y[n−2]=x[n] 所以，系统框图为
▲ 图1.2.1 系统框图
2、选做题
◎ 求解：
下面使用 Python 中的 scipy.signal 中的 deconvolve 求解 x [ n ] x\left[ n \right] x[n] 。
from headm import *
import scipy.signal
def G(t, startn, endn):
return heaviside(t-startn,1)-heaviside(t-endn,1)
def Gt(t, center, width):
startn = center-width/2
endn = startn + width
return heaviside(t-startn,0.5)-heaviside(t-endn,0.5)
n = array(list(range(0, 50)))
ydim = n*G(n,0,20)+(-n+38)*G(n,20,38)
hdim = (-n+4)*G(n,0,5)
hdim = hdim[:5]
xdim = scipy.signal.deconvolve(ydim, hdim)[0]
printf(xdim)
markerline,_,_ = plt.stem(range(len(xdim)), xdim)
plt.setp(markerline, markersize=10)
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("ydim")
plt.axis([-1, 51, -1, 3])
plt.grid(True)
plt.grid(False)
plt.tight_layout()
plt.show()
![▲ 图1.2.2 x[n]序列波形](https://img-blog.csdnimg.cn/8366bce4a1e343128633523d1fdf7c0b.png#pic_center)
▲ 图1.2.2 x[n]序列波形
三、系统分析
1、必做题
◎ 求解：
（1）系统性质判断
（1） 因果系统； 稳定系统；
（2） 因果系统； 不稳定系统；
（3） 因果系统， 稳定系统；
（4） 非因果系统； 稳定系统；
（5） 因果系统； 非稳定系统；
（6） 非因果系统； 稳定系统；
（2）求系统单位冲激响应
原系统可以看成两个子系统串联， 根据 LTI 系统串联子系统前后允许交换， 系统1 与 系统2 实际上是相同的系统。
对于 系统2， 输入 δ ( t ) \delta \left( t \right) δ(t) 之后， 对应的输出为： y 1 ( t ) = ∫ − ∞ t δ ( τ ) − δ ( τ − T ) d τ = u ( t ) − u ( t − T ) y_1 \left( t \right) = \int_{ - \infty }^t {\delta \left( \tau \right) - \delta \left( {\tau - T} \right)d\tau = u\left( t \right) - u\left( {t - T} \right)} y1(t)=∫−∞tδ(τ)−δ(τ−T)dτ=u(t)−u(t−T)
▲ 图1.3.1 两个系统串联
因此， 系统1与系统2串联后对应的系统单位冲激响应： h ( t ) = y 1 ( t ) ∗ y 1 ( t ) h\left( t \right) = y_1 \left( t \right) * y_1 \left( t \right) h(t)=y1(t)∗y1(t) 。 两个宽度为 T 的矩形波卷积结果为宽度为 2T， 高度为 T 的三角脉冲波形。
▲ 图1.3.2 单位冲激响应信号波形
2、选做题
◎ 求解：
（1） 根据给定的系统的输入输出关系可以知道，系统的单位冲击响应：
h ( t ) = ∫ − ∞ t e − ( t − τ ) ⋅ δ ( τ − 2 ) d τ = e − ( t − 2 ) ⋅ u ( t − 2 ) h\left( t \right) = \int_{ - \infty }^t {e^{ - \left( {t - \tau } \right)} \cdot \delta \left( {\tau - 2} \right)d\tau } \,\, = e^{ - \left( {t - 2} \right)} \cdot u\left( {t - 2} \right) h(t)=∫−∞te−(t−τ)⋅δ(τ−2)dτ=e−(t−2)⋅u(t−2)
（2）
x
(
t
)
x\left( t \right)
x(t)与
h
(
t
)
h\left( t \right)
h(t)的卷积，可以使用图解方法辅助求解：
- t < 1 t < 1 t<1
x ( t ) ∗ h ( t ) = 0 x\left( t \right) * h\left( t \right) = 0 x(t)∗h(t)=0
- 1 ≤ t < 4 1 \le t < 4 1≤t<4
x ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ 0 t − 1 e − τ ⋅ d τ = − 1 e − τ ∣ 0 t − 1 = 1 − e − ( t − 1 ) x\left( t \right) * h\left( t \right) = \int_0^{t - 1} {e^{ - \tau } \cdot d\tau } \,\, = - 1\left. {e^{ - \tau } } \right|_0^{t - 1} = 1 - e^{ - \left( {t - 1} \right)} x(t)∗h(t)=∫0t−1e−τ⋅dτ=−1e−τ 0t−1=1−e−(t−1)
- t ≥ 4 t \ge 4 t≥4
x ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ t − 4 t − 1 e − τ ⋅ d τ x\left( t \right) * h\left( t \right) = \int_{t - 4}^{t - 1} {e^{ - \tau } \cdot d\tau } x(t)∗h(t)=∫t−4t−1e−τ⋅dτ = − 1 e − τ ∣ t − 4 t − 1 = e − t + 4 − e − t + 1 = ( e 4 − e 1 ) e − t = - 1\left. {e^{ - \tau } } \right|_{t - 4}^{t - 1} = e^{ - t + 4} - e^{ - t + 1} = \left( {e^4 - e^1 } \right)e^{ - t} =−1e−τ t−4t−1=e−t+4−e−t+1=(e4−e1)e−t
■ 相关文献链接:
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