• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第三次作业
• 信号与系统 2023（春季） 作业参考答案 - 第三次作业

01 单位冲激响应

一、习题内容

  在第三次作业中，有两个求解系统单位冲激响应的选做题。 第一道题目， 给定了系统微分方程， 求解该系统的单位冲激响应。  在时域分析中， 可以直接通过求解微分方程进行求解。 第二道习题， 给定的系统微分方程稍微麻烦一些。 输入信号中包括两项， 前面一项是关于 x(t) 与 f(t) 的卷积运算。 给定了 f(t) 的表达式， 求解信城通的单位冲激响应。  实际上，只要将 x(t) 使用 delta,t 代入方程右边， 按照正常微分方程求解即可。 下面让我们具体看一下这两个问题的求解思路。

二、第一题求解

  对于第一道题， 在给定的微分方程的情况下，求解系统的单位冲激响应。 写出特征方程， 求出两个特征根。 得到微分方程的齐次解。 为了求解其中两个待定系数 c1,c2， 使用奇异函数匹配方法，分析方程在 0 时刻的跳变。 方程右边奇异函数最高导数项为 delta 一撇。 那么对于方程左边， 最高项也包含有 delta 函数的导数， 这里给出最高导数项奇异函数的一般形式， 求出其它各低阶导数项中的奇异函数。 将它们代入微分方程左边， 合并同类项之后， 于微分方程右边进行奇异函数匹配。 通过相同奇异函数项系数相等， 求出待定系数 a， 对应 y(t) 在 0 时刻有跳跃， 得到 y 0正 时刻的值为2。 根据 delta,t 的系数， 可以得到关于 b 的取值，  那么 y(t) 的导数在零时刻有 -16 的跳跃。 对应 y 一撇 0正 等于 负 16。 根据求到的初始条件， 代入完全解， 可以得到关于待定系数 c1,c2 的方程。 经过求解，便可以确定 c1,c2 的取值， 最终得到系统的单位冲激响应。 这是第一道题的答案。

三、第二题求解

  第二题给定的微分方程右边包括一个卷积运算，以及输入信号 x(t)。 参与卷积的 f(t) 是给定的。 将 x(t) 使用 delta,t替代。 微分方程右边就剩下 f(t) 减去 delta,t。  将 f(t) 代入方程右边，  这是化简后微分方程，下面对该微分方程进行求解。

  首先求解方程的齐次解，  根据特征方程， 得到一个特征根，写出对应的齐次解。  根据方程输入信号， 只有其中的指数部分对应着特解。 delta,t 没有特解。 设特解对应的一般形式， 将其代入方程， 进行化简后，  再和方程右边进行对比， 由此可以得到 3D 等于 1。 于是特解系数 D 等于三分之一。  于是得到方程特解的形式。 合并齐次解于特解， 得到完全解，其中有一个待定系数 c1。 再根据奇异函数匹配方法，确定方程起始条件。 方程右边奇异函数最高导数项为 delta,t。 方程左边最高导数项包括有 delta,t。 写出 y(t)以及各阶导数中的奇异函数。 将其代入方程， 合并简化后， 再与方程右边奇异函数进行对比。 根据 delta，t 前面系数相等， 可以得到 a 等于 3， 进而判断 y 0正 等于 3。  将这个初始条件代入完全解， 便可以得到关于待定系数 c1 的方程， 由此可以得到完全解。  这是求解得到的系统单位冲激响应。 

※ 总  结 ※

  本文介绍了第三次作业中两道求解系统单位冲激响应习题， 求解方法与普通微分方程求解方法是一致的。

■ 相关文献链接:

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• 图1.1.1 习题要求