矢量叉乘能否反求矢量

这两天纠结一个问题，矢量叉乘能否反求矢量？

$$\vec{a}\times \vec{b}=\vec{c}$$

如果已经知道矢量$\vec{a}$和矢量$\vec{c}$，能否求解得到矢量$\vec{b}$呢？

想了很久，答案是不行的，$\vec{a}\times \vec{b}=\vec{c}$可以看作$[a]\vec{b}=\vec{c}$，也即
$$\left[\begin{array}{ccc}0& -a_z& a_y\\ a_z& 0& -a_x\\ -a_y& a_x& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_x\\ c_y\\ c_z\end{array}\right]$$

相当于求解一个线性方程组，由于$[a]$的行列式$det[a]=0$，所以$\vec{b}$至少是没有唯一解的。

从几何直观上也非常好解释，矢量$\vec{a}$要找一个矢量$\vec{b}$让它们张成的平面的法向矢量等于$\vec{c}$，是可以找无数个的。

矢量$\vec{a}$和矢量$\vec{b}$在同一平面，确定唯一方向的矢量$\vec{c}$，矢量$\vec{c}$的大小等于矢量$\vec{a}$和矢量$\vec{b}$构成的三角形的面积，如上图所示可以有$b1$、$b2$、$b3$多个矢量可以选择，保证三角形的面积是恒定的，所以解是不唯一的。

放在实际的应用中，线速度等于角速度叉乘矢径。

$$\dot{\vec{r}}=\vec{\omega }\times \vec{r}$$

知道线速度和矢径，也是无法求出角速度的。