【BZOJ1797】[AHOI2009]最小割（网络流）

题面

BZOJ
洛谷

题解

最小割的判定问题，这里就当做记结论吧。（源自\(lun\)的课件）
我们先跑一遍最小割，求出残量网络。然后把所有还有流量的边拿出来跑\(Tarjan\)缩\(SCC\)。

• 如果一条满流边的两个端点不在同一个\(SCC\)中则这条边可能存在于最小割中。
  证明：考虑如果减少一条边的容量之后，最小割变小了，证明这条边可能存在于最小割之中。
  那么反过来，如果\((u,v)\)在同一个\(SCC\)中，我们把\(u\rightarrow v\)这条边的容量减小\(d\)，那么我们把这个环上的所有边的容量都减少\(d\)，仍然满足流量平衡，意味着最大流即最小割不变。反之最大流即最小割改变，那么这条边可能存在于最小割中。

• 如果一条满流边\(u\rightarrow v\)的端点满足\(u\)和\(S\)在同一个\(SCC\)，\(v\)和\(T\)在同一个\(SCC\)，那么这条边必定在最小割中。
  证明：增加一条边的容量，如果最小割增加，意味着这条边必定在最小割中。因为\(u\rightarrow\)是满流的边，所以沿反边\(u\)可达\(S\)，\(T\)可达\(v\) 。如果\(S,u\)在同一个\(SCC\)，\(T,v\)在同一个\(SCC\)中，说明\(S\)到\(u\)上还有增广路，\(v\)到\(T\)上还有增广路，那么\(u\rightarrow v\)的流量增加最小割也会增加，此时\(u\rightarrow v\)必定在最小割中。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 5000
#define MAXL 60060
#define inf 1000000000
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
struct Line{int v,next,w;}e[MAXL<<1];
int h[MAX],cnt=2;
inline void Add(int u,int v,int w)
{
	e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;
	e[cnt]=(Line){u,h[v],0};h[v]=cnt++;
}
int n,m,S,T,level[MAX],cur[MAX];
bool bfs()
{
	memset(level,0,sizeof(level));level[S]=1;
	queue<int> Q;Q.push(S);
	while(!Q.empty())
	{
		int u=Q.front();Q.pop();
		for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
			if(e[i].w&&!level[e[i].v])
				level[e[i].v]=level[u]+1,Q.push(e[i].v);
	}
	return level[T];
}
int dfs(int u,int flow)
{
	if(u==T||!flow)return flow;
	int ret=0;
	for(int &i=cur[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v,d;
		if(e[i].w&&level[v]==level[u]+1)
		{
			d=dfs(v,min(flow,e[i].w));
			ret+=d;flow-=d;
			e[i].w-=d;e[i^1].w+=d;
			if(!flow)break;
		}
	}
	if(!ret)level[u]=0;
	return ret;
}
int Dinic()
{
	int ret=0;
	while(bfs())
	{
		memcpy(cur,h,sizeof(h));
		ret+=dfs(S,inf);
	}
	return ret;
}
int dfn[MAX],low[MAX],G[MAX],gr,tim,St[MAX],top;
bool ins[MAX];
void Tarjan(int u)
{
	dfn[u]=low[u]=++tim;St[++top]=u;ins[u]=true;
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
	{
		if(!e[i].w)continue;
		int v=e[i].v;
		if(!dfn[v])Tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
		else if(ins[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(low[u]==dfn[u])
	{
		++gr;int v;
		do{v=St[top--];G[v]=gr;ins[v]=false;}while(u!=v);
	}
}
int main()
{
	n=read();m=read();S=read();T=read();
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int u=read(),v=read(),w=read();
		Add(u,v,w);
	}
	Dinic();
	for(int i=1;i<=n;++i)if(!dfn[i])Tarjan(i);
	for(int i=2;i<cnt;i+=2)
		if(e[i].w)puts("0 0");
		else
		{
			if(G[e[i].v]^G[e[i^1].v])printf("1 ");
			else printf("0 ");
			if(G[e[i].v]==G[T]&&G[e[i^1].v]==G[S])puts("1");
			else puts("0");
		}
	return 0;
}