http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/60776803

单决策树C4.5由于功能太简单。而且非常easy出现过拟合的现象。于是引申出了很多变种决策树。就是将单决策树进行模型组合，形成多决策树，比較典型的就是迭代决策树GBRT和随机森林RF。

在近期几年的paper上，如iccv这样的重量级会议。iccv 09年的里面有不少文章都是与Boosting和随机森林相关的。

模型组合+决策树相关算法有两种比較主要的形式：随机森林RF与GBDT，其他比較新的模型组合+决策树算法都是来自这两种算法的延伸。首先说明一下。GBRT这个算法有非常多名字，但都是同一个算法：GBRT (Gradient BoostRegression Tree) 渐进梯度回归树，GBDT (Gradient BoostDecision Tree) 渐进梯度决策树。MART (MultipleAdditive Regression Tree) 多决策回归树，Tree Net决策树网络。

GBDT(Gradient Boosting Decision Tree) 又叫 MART（Multiple Additive Regression Tree)。是一种迭代的决策树算法，该算法由多棵决策树组成。全部树的结论累加起来做终于答案。

它在被提出之初就和SVM一起被觉得是泛化能力（generalization)较强的算法。

近些年更由于被用于搜索排序的机器学习模型而引起大家关注。

GBRT是回归树，不是分类树（虽然GBDT调整后也可用于分类但不代表GBDT的树是分类树）。其核心就在于，每一棵树是从之前全部树的残差中来学习的。

为了防止过拟合，和Adaboosting一样，也加入了boosting这一项。

GBDT主要由三个概念组成：Regression Decistion Tree（即DT)，Gradient Boosting（即GB)，Shrinkage (算法的一个重要演进分枝，眼下大部分源代码都按该版本号实现）。搞定这三个概念后就能明确GBDT是怎样工作的，要继续理解它怎样用于搜索排序则须要额外理解RankNet概念。

Gradient Tree Boosting或Gradient Boosted Regression Trees（GBRT)是一个boosting的泛化表示，它使用了不同的loss函数。GBRT是精确、现成的过程，用于解决回归/分类问题。

Gradient Tree Boosting模型则用于很多不同的领域：比方：网页搜索Ranking、ecology等。

GBRT优缺点

GBRT的优点是：
    天然就可处理不同类型的数据（=各种各样的features）
    预測能力强
    对空间外的异常点处理非常健壮（通过健壮的loss函数）
GBRT的缺点是：
    扩展性不好，由于boosting天然就是顺序运行的，非常难并行化

回归树是怎样工作的？

我们以对人的性别判别/年龄预測为例来说明，每一个instance都是一个我们已知性别/年龄的人。而feature则包括这个人上网的时长、上网的时段、网购所花的金额等。
    分类树。我们知道C4.5分类树在每次分枝时。是穷举每一个feature的每一个阈值，找到使得依照feature<=阈值，和feature>阈值分成的两个分枝的熵最大的feature和阈值（熵最大的概念可理解成尽可能每一个分枝的男女比例都远离1:1），依照该标准分枝得到两个新节点。用相同方法继续分枝直到全部人都被分入性别唯一的叶子节点。或达到预设的终止条件，若终于叶子节点中的性别不唯一，则以多数人的性别作为该叶子节点的性别。
    回归树整体流程相似，只是在每一个节点（不一定是叶子节点）都会得一个预測值，以年龄为例，该预測值等于属于这个节点的全部人年龄的平均值{Note: 分裂点最优值是分裂点全部x相应y值的均值c。因内部最小平方误差最小[统计学习方法 5.5CART算法]}。分枝时穷举每一个feature的每一个阈值找最好的切割点，但衡量最好的标准不再是最大熵。而是最小化均方差--即（每一个人的年龄-预測年龄）^2 的总和 / N，或者说是每一个人的预測误差平方和 除以 N。这非常好理解，被预測出错的人数越多。错的越离谱。均方差就越大，通过最小化均方差能够找到最靠谱的分枝根据。分枝直到每一个叶子节点上人的年龄都唯一（这太难了）或者达到预设的终止条件（如叶子个数上限），若终于叶子节点上人的年龄不唯一，则以该节点上全部人的平均年龄做为该叶子节点的预測年龄。

[统计学习方法 5.5CART算法]

算法原理

不是每棵树独立训练

Boosting，迭代，即通过迭代多棵树来共同决策。这怎么实现呢？难道是每棵树独立训练一遍，比方A这个人。第一棵树觉得是10岁。第二棵树觉得是0岁，第三棵树觉得是20岁，我们就取平均值10岁做终于结论？--当然不是！

且不说这是投票方法并非GBDT。仅仅要训练集不变，独立训练三次的三棵树必然全然相同。这样做全然没有意义。

之前说过，GBDT是把全部树的结论累加起来做终于结论的，所以能够想到每棵树的结论并非年龄本身，而是年龄的一个累加量。

GBDT的核心就在于，每一棵树学的是之前全部树结论和的残差。这个残差就是一个加预測值后能得真实值的累加量。

比方A的真实年龄是18岁，但第一棵树的预測年龄是12岁，差了6岁。即残差为6岁。那么在第二棵树里我们把A的年龄设为6岁去学习。假设第二棵树真的能把A分到6岁的叶子节点，那累加两棵树的结论就是A的真实年龄；假设第二棵树的结论是5岁，则A仍然存在1岁的残差。第三棵树里A的年龄就变成1岁，继续学。这就是Gradient Boosting在GBDT中的意义。

残差提升

算法流程解释1

0.给定一个初始值

1.建立M棵决策树（迭代M次）{Note: 每次迭代生成一棵决策树}

2.对函数预计值F(x)进行Logistic变换（Note:仅仅是归一化而已）

3.对于K各分类进行以下的操作（事实上这个for循环也能够理解为向量的操作，每一个样本点xi都相应了K种可能的分类yi，所以yi。F(xi)，p(xi)都是一个K维向量）

4.求得残差降低的梯度方向

5.根据每一个样本点x，与其残差降低的梯度方向，得到一棵由J个叶子节点组成的决策树

6.当决策树建立完毕后。通过这个公式，能够得到每一个叶子节点的增益（这个增益在预測时候用的）

       每一个增益的组成事实上也是一个K维向量，表示假设在决策树预測的过程中。假设某个样本点掉入了这个叶子节点，则其相应的K个分类的值是多少。比方GBDT得到了三棵决策树。一个样本点在预測的时候。也会掉入3个叶子节点上。其增益分别为（假设为3分类问题）：

(0.5, 0.8, 0.1), (0.2, 0.6, 0.3), (0.4, .0.3, 0.3)，那么这样终于得到的分类为第二个。由于选择分类2的决策树是最多的。

7.将当前得到的决策树与之前的那些决策树合并起来。作为一个新的模型（跟6中的样例差点儿相同）

算法流程解释2

梯度提升

不同于前面的残差提升算法，这里使用loss函数的梯度近似残差（对于平方loss事实上就是残差。一般loss函数就是残差的近似）。

解决残差计算困难问题。

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GBRT演示样例1（残差）

        年龄预測，简单起见训练集仅仅有4个人，A,B,C,D，他们的年龄各自是14,16,24,26。当中A、B各自是高一和高三学生；C,D各自是应届毕业生和工作两年的员工。

假设是用一棵传统的回归决策树来训练，会得到例如以下图1所看到的结果：

        如今我们使用GBDT来做这件事。由于数据太少。我们限定叶子节点做多有两个。即每棵树仅仅有一个分枝。而且限定仅仅学两棵树。我们会得到例如以下图2所看到的结果： 

        在第一棵树分枝和图1一样，由于A,B年龄较为相近。C,D年龄较为相近，他们被分为两拨。每拨用平均年龄作为预測值。

此时计算残差（残差的意思就是： A的预測值 + A的残差 = A的实际值），所以A的残差就是16-15=1（注意，A的预測值是指前面全部树累加的和。这里前面仅仅有一棵树所以直接是15，假设还有树则须要都累加起来作为A的预測值）。

进而得到A,B,C,D的残差分别为-1,1，-1,1。

然后我们拿残差替代A,B,C,D的原值。到第二棵树去学习，假设我们的预測值和它们的残差相等，则仅仅需把第二棵树的结论累加到第一棵树上就能得到真实年龄了。

这里的数据显然是我能够做的。第二棵树仅仅有两个值1和-1，直接分成两个节点。

此时全部人的残差都是0。即每一个人都得到了真实的预測值。

换句话说。如今A,B,C,D的预測值都和真实年龄一致了。

A: 14岁高一学生，购物较少。常常问学长问题；预測年龄A = 15 – 1 = 14

B: 16岁高三学生；购物较少，常常被学弟问问题。预測年龄B = 15 + 1 = 16

C: 24岁应届毕业生；购物较多，常常问师兄问题；预測年龄C = 25 – 1 = 24

D: 26岁工作两年员工；购物较多。常常被师弟问问题；预測年龄D = 25 + 1 = 26 

问题

 1）既然图1和图2 终于效果相同。为何还须要GBDT呢？
    答案是过拟合。

过拟合是指为了让训练集精度更高，学到了非常多”仅在训练集上成立的规律“，导致换一个数据集当前规律就不适用了。事实上仅仅要同意一棵树的叶子节点足够多。训练集总是能训练到100%准确率的（大不了最后一个叶子上仅仅有一个instance)。在训练精度和实际精度（或測试精度）之间，后者才是我们想要真正得到的。
    我们发现图1为了达到100%精度使用了3个feature（上网时长、时段、网购金额），当中分枝“上网时长>1.1h” 非常显然已经过拟合了，这个数据集上A,B或许恰好A每天上网1.09h, B上网1.05小时，但用上网时间是不是>1.1小时来推断全部人的年龄非常显然是有悖常识的。
    相对来说图2的boosting虽然用了两棵树 ，但事实上仅仅用了2个feature就搞定了。后一个feature是问答比例。显然图2的根据更靠谱。（当然，这里是有益做的数据，所以才干靠谱得如此） Boosting的最大优点在于，每一步的残差计算事实上变相地增大了分错instance的权重。而已经分对的instance则都趋向于0。这样后面的树就能越来越专注那些前面被分错的instance。就像我们做互联网，总是先解决60%用户的需求凑合着，再解决35%用户的需求，最后才关注那5%人的需求，这样就能逐渐把产品做好，由于不同类型用户需求可能全然不同，须要分别独立分析。

2）Gradient呢？不是“G”BDT么？
 到眼下为止。我们的确没实用到求导的Gradient。

在当前版本号GBDT描写叙述中。的确没实用到Gradient，该版本号用残差作为全局最优的绝对方向（lz可能不知道详细步长吧？），并不须要Gradient求解。

那么哪里体现了Gradient呢？事实上回到第一棵树结束时想一想。不管此时的cost function是什么。是均方差还是均差。仅仅要它以误差作为衡量标准。残差向量(-1, 1, -1, 1)都是它的全局最优方向。这就是Gradient。

lz补充一句，均方差的梯度不就是残差吗，这就是梯度！（其他的loss函数就不一定了，可是残差向量总是全局最优的，梯度一般都是残差的近似）

 3）这是boosting？Adaboost？
这是boosting，但不是Adaboost。

GBDT不是Adaboost Decistion Tree。就像提到决策树大家会想起C4.5，提到boost多数人也会想到Adaboost。Adaboost是还有一种boost方法。它按分类对错。分配不同的weight，计算cost function时使用这些weight，从而让“错分的样本权重越来越大，使它们更被重视”。

Bootstrap也有相似思想，它在每一步迭代时不改变模型本身，也不计算残差。而是从N个instance训练集中按一定概率又一次抽取N个instance出来（单个instance能够被反复sample），对着这N个新的instance再训练一轮。由于数据集变了迭代模型训练结果也不一样，而一个instance被前面分错的越厉害，它的概率就被设的越高，这样就能相同达到逐步关注被分错的instance，逐步完好的效果。Adaboost的方法被实践证明是一种非常好的防止过拟合的方法，但至于为什么至今没从理论上被证明。GBDT也能够在使用残差的同一时候引入Bootstrap re-sampling，GBDT多数实现版本号中也添加的这个选项，可是否一定使用则有不同看法。re-sampling一个缺点是它的随机性，即相同的数据集合训练两遍结果是不一样的，也就是模型不可稳定复现，这对评估是非常大挑战。比方非常难说一个模型变好是由于你选用了更好的feature，还是由于这次sample的随机因素。

GBRT演示样例2（残差）

选取回归树的分界点建立回归树

使用残差继续训练新的回归树

GBRT适用范围

        该版本号的GBRT差点儿可用于全部的回归问题（线性/非线性），相对logistic regression仅能用于线性回归，GBRT的适用面非常广。亦可用于二分类问题（设定阈值，大于阈值为正例。反之为负例）。

搜索引擎排序应用RankNet

        搜索排序关注各个doc的顺序而不是绝对值，所以须要一个新的cost function，而RankNet基本就是在定义这个cost function，它能够兼容不同的算法（GBDT、神经网络...）。
        实际的搜索排序使用的是Lambda MART算法，必须指出的是由于这里要使用排序须要的cost function。LambdaMART迭代用的并非残差。

Lambda在这里充当替代残差的计算方法，它使用了一种相似Gradient*步长模拟残差的方法。

这里的MART在求解方法上和之前说的残差略有不同，其差别描写叙述见这里。
         搜索排序也须要训练集。但多数用人工标注实现，即对每一个(query, doc)pair给定一个分值（如1, 2, 3, 4），分值越高越相关，越应该排到前面。RankNet就是基于此制定了一个学习误差衡量方法。即cost function。RankNet对随意两个文档A,B，通过它们的人工标注分差，用sigmoid函数预计两者顺序和逆序的概率P1。然后同理用机器学习到的分差计算概率P2（sigmoid的优点在于它同意机器学习得到的分值是随意实数值，仅仅要它们的分差和标准分的分差一致，P2就趋近于P1）。这时利用P1和P2求的两者的交叉熵，该交叉熵就是cost function。
        有了cost function，能够求导求Gradient。Gradient即每一个文档得分的一个下降方向组成的N维向量。N为文档个数（应该说是query-doc pair个数）。这里仅仅是把”求残差“的逻辑替换为”求梯度“。每一个样本通过Shrinkage累加都会得到一个终于得分。直接按分数从大到小排序就能够了。

[【机器学习】迭代决策树GBRT（渐进梯度回归树）]

皮皮blog

python sklearn实现

分类

sklearn.ensemble.GradientBoostingClassifier(loss='deviance', learning_rate=0.1, n_estimators=100, subsample=1.0, criterion='friedman_mse', min_samples_split=2, min_samples_leaf=1, min_weight_fraction_leaf=0.0, max_depth=3, min_impurity_split=1e-07, init=None, random_state=None, max_features=None, verbose=0, max_leaf_nodes=None, warm_start=False, presort='auto')

超过2个分类时。须要在每次迭代时引入n_classes的回归树，因此，总的索引树为（n_classes * n_estimators）。

对于分类数目非常多的情况，强烈推荐你使用 RandomForestClassifier 来替代GradientBoostingClassifier

回归

sklearn.ensemble.GradientBoostingRegressor(loss='ls', learning_rate=0.1, n_estimators=100, subsample=1.0, criterion='friedman_mse', min_samples_split=2, min_samples_leaf=1, min_weight_fraction_leaf=0.0, max_depth=3, min_impurity_split=1e-07, init=None, random_state=None, max_features=None, alpha=0.9, verbose=0, max_leaf_nodes=None, warm_start=False, presort='auto')

參数：

n_estimators : int (default=100) 迭代次数，也就是弱学习器的个数

The number of boosting stages to perform. Gradient boostingis fairly robust to over-fitting so a large number usuallyresults in better performance.

The plot on the left shows the train and test error at each iteration.The train error at each iteration is stored in thetrain_score_ attributeof the gradient boosting model. The test error at each iterations can be obtainedvia the staged_predict method which returns agenerator that yields the predictions at each stage. Plots like these can be usedto determine the optimal number of trees (i.e. n_estimators) by early stopping.

控制树的size

回归树的基础学习器（base learners）的size。定义了能够被GB模型捕获的各种交互的level。通常，一棵树的深度为h，能够捕获h阶的影响因子(interactions)。控制各个回归树的size有两种方法。

1 指定max_depth=h，那么将会长成深度为h的完整二元树。这样的树至多有2^h个叶子，以及2^h-1中间节点。
2 还有一种方法：你能够通过指定叶子节点的数目（max_leaf_nodes）来控制树的size。这样的情况下，树将使用最优搜索(best-first search)的方式生成，并以最高不纯度（impurity）的方式展开。假设树的max_leaf_nodes=k。表示具有k-1个切割节点。能够建模最高(max_leaf_nodes-1)阶的interactions。

我们发现。max_leaf_nodes=k 与 max_depth=k-1 进行比較。训练会更快，仅仅会增大一点点的训练误差（training error）。

參数max_leaf_nodes相应于gradient boosting中的变量J。与R提供的gbm包的參数interaction.depth相关。为：max_leaf_nodes == interaction.depth + 1。

数学公式Mathematical formulation

GBRT considers additive models of the following form:

where are the basis functions which are usually called weak learners in the context of boosting. Gradient Tree Boosting uses decision trees of fixed size as weak learners. Decision trees have a number of abilities that make them valuable for boosting, namely the ability to handle data of mixed type and the ability to model complex functions.

Similar to other boosting algorithms GBRT builds the additive model in a forward stage wise fashion: 前向分步算法

At each stage the decision tree is chosen to minimize the loss function given the current model and its fit

   

Note: 应该是F_{m-1}(x_i) + h(x)吧。残差为yi - (F_{m-1}(x_i) + h(x))训练下一个回归树

The initial model is problem specific, for least-squares regression one usually chooses the mean of the target values.

Gradient Boosting attempts to solve this minimization problem numerically via steepest descent: The steepest descent direction is the negative gradient of the loss function evaluated at the current model which can be calculated for any differentiable loss function:

    Note: 这里使用的是残差的近似--梯度来计算残差的。

Where the step length is chosen using line search:

The algorithms for regression and classification only differ in the concrete loss function used.

loss函数

回归

• 最小二乘法Least squares（’ls’）：最自然的选择，由于它的计算非常简单。初始模型通过target的平均值来给出。

• 最小绝对偏差Least absolute deviation （’lad’）：一个健壮的loss函数，用于回归。初始模型通过target的中值来给出。

• Huber (‘huber’): Another robust loss function that combinesleast squares and least absolute deviation; use alpha tocontrol the sensitivity with regards to outliers (see [F2001] formore details).
• Quantile (‘quantile’):A loss function for quantile regression.Use 0 < alpha < 1 to specify the quantile. This loss functioncan be used to create prediction intervals(see Prediction Intervals for Gradient Boosting Regression).

分类

• Binomial deviance ('deviance'): The negative binomiallog-likelihood loss function for binary classification (providesprobability estimates). The initial model is given by thelog odds-ratio.
• Multinomial deviance ('deviance'): The negative multinomiallog-likelihood loss function for multi-class classification withn_classes mutually exclusive classes. It providesprobability estimates. The initial model is given by theprior probability of each class. At each iteration n_classesregression trees have to be constructed which makes GBRT ratherinefficient for data sets with a large number of classes.
• Exponential loss ('exponential'): The same loss functionas AdaBoostClassifier. Less robust to mislabeledexamples than 'deviance'; can only be used for binaryclassification.

正则化

缩减Shrinkage

 Shrinkage（缩减）的思想觉得，每次走一小步逐渐逼近结果的效果，要比每次迈一大步非常快逼近结果的方式更easy避免过拟合。即它不全然信任每一个棵残差树，它觉得每棵树仅仅学到了真理的一小部分，累加的时候仅仅累加一小部分，通过多学几棵树弥补不足。用方程来看更清晰，即
没用Shrinkage时：（yi表示第i棵树上y的预測值， y(1~i)表示前i棵树y的综合预測值）
y(i+1) = 残差(y1~yi)。 当中： 残差(y1~yi) =  y真实值 - y(1 ~ i)
y(1 ~ i) = SUM(y1, ..., yi)

Shrinkage不改变第一个方程，仅仅把第二个方程改为：
y(1 ~ i) = y(1 ~ i-1) + step * yi
即Shrinkage仍然以残差作为学习目标，但对于残差学习出来的结果。仅仅累加一小部分（step*残差）逐步逼近目标，step一般都比較小，如0.01~0.001（注意该step非gradient的step），导致各个树的残差是渐变的而不是陡变的。直觉上这也非常好理解，不像直接用残差一步修复误差，而是仅仅修复一点点。事实上就是把大步切成了非常多小步。本质上，Shrinkage为每棵树设置了一个weight，累加时要乘以这个weight，但和Gradient并没有关系。这个weight就是step。就像Adaboost一样。Shrinkage能降低过拟合发生也是经验证明的。眼下还没有看到从理论的证明。

[f2001]提出了一种简单的正则化策略，它通过一个因子v将每一个弱学习器的贡献进行归一化（为什么学习率v能将每一个弱学习器的贡献进行归一化？）。

參数v也被称为学习率（learning rate），由于它能够对梯度下降的步长进行调整。它能够通过learning_rate參数进行设定。

參数learning_rate会强烈影响到參数n_estimators（即弱学习器个数）。learning_rate的值越小，就须要越多的弱学习器数来维持一个恒定的训练误差(training error)常量。经验上。推荐小一点的learning_rate会对測试误差(test error)更好。

[HTF2009]推荐将learning_rate设置为一个小的常数（e.g. learning_rate <= 0.1），并通过early stopping机制来选择n_estimators。我们能够在[R2007]中看到很多其他关于learning_rate与n_estimators的关系。

子抽样Subsampling

[F1999]提出了随机梯度boosting。它将bagging(boostrap averaging)与GradientBoost相结合。在每次迭代时，基础分类器(base classifer)都在训练数据的一个子抽样集中进行训练。子抽样以放回抽样。subsample的典型值为：0.5。

下图展示了shrinkage的效果，并在模型的拟合优度（Goodness of Fit）上进行子抽样（subsampling）。

我们能够非常清晰看到：shrinkage的效果比no-shrinkage的要好。

减小variance策略1：使用shrinkage的子抽样能够进一步提升模型准确率。而不带shinkage的子抽样效果差些。

减小variance策略2：对features进行子抽样（类比于RandomForestClassifier中的随机split）。

子抽样features的数目能够通过max_features參数进行控制。

注意：使用小的max_features值能够极大地降低运行时长。

out-of-bag预计

随机梯度boosting同意计算測试偏差（test deviance）的out-of-bag预计。通过计算没有落在bootstrap样本中的其他样本的偏差改进（i.e. out-of-bag演示样例）。该提升存在属性oob_improvement_中。

oob_improvement_[i]表示在加入第i步到当前预測中时，OOB样本中的loss的提升。OOB预计能够被用于模型选择，比如：决定最优的迭代数。OOB预计通常非常少用，我们推荐你使用交叉验证（cross-validation），除非当cross-validation十分耗时的时候。

演示样例：[Gradient Boosting regularization; Gradient Boosting Out-of-Bag estimates; OOB Errors for Random Forests]

内省Interpretation

单颗决策树能够通过内省进行可视化树结构。然而。GradientBoost模型由成百的回归树组成，不能轻易地通过对各棵决策树进行内省来进行可视化。幸运的是，已经提出了很多技术来归纳和内省GradientBoost模型。

feature重要程度

通常。features对于target的结果预期的贡献不是均等的；在很多情况下，大多数features都是不相关的。当内省一个模型时，第一个问题一般是：在预測我们的target时，哪些features对结果预測来说是重要的。

单棵决策树天生就能够通过选择合适的split节点进行特征选择（feature selection）。该信息能够用于计算每一个feature的重要性；基本思想是：假设一个feature常常常使用在树的split节点上，那么它就越重要。这个重要性的概率能够延伸到决策树家族ensembles方法上，通过对每棵树的feature求简单平均就可以。

GradientBoosting模型的重要性分值，能够通过feature_importances_属性来訪问：

>>> from sklearn.datasets import make_hastie_10_2
>>> from sklearn.ensemble import GradientBoostingClassifier

>>> X, y = make_hastie_10_2(random_state=0)
>>> clf = GradientBoostingClassifier(n_estimators=100, learning_rate=1.0,
...     max_depth=1, random_state=0).fit(X, y)
>>> clf.feature_importances_  
array([ 0.11,  0.1 ,  0.11,  ...

演示样例：Gradient Boosting regression

局部依赖

局部依赖图（Partial dependence plots ：PDP）展示了target结果与一些目标特征（target feature）之间的依赖；边缘化（marginalizing）全部其他特征（’complement’ features）。

另外。我们能够内省这两者的局部依赖性。

由于人的认知的有限，目标特征的size必须设置的小些（通常：1或2），目标特征能够在最重要的特征当中进行选择。

下图展示了关于California居住情况的、4个one-way和一个two-way的局部依赖图演示样例：

one-way的PDP图告诉我们，target结果与target特征之间的相互关系（e.g. 线性/非线性）。

左上图展示了中等收入（median income）在房价中位数（median house price）上的分布；我们能够看到它们间存在线性关系。

     带有两个target特征的PDP。展示了和两个特征的相关关系。

比如：上图最后一张小图中，两个变量的PDP展示了房价中位数（median house price）与房龄（house age）和平均家庭成员数（avg. occupants）间的关系。我们能够看到两个特征间的关系：对于AveOccup>2的。房价与房龄（HouseAge）差点儿全然独立。而AveOccup<2的，房价则强烈依赖年齡。

partial_dependence模块

提供了一个非常方便的函数：plot_partial_dependence 来创建one-way以及two-way的局部依赖图。下例，我们展示了怎样创建一个PDP：两个two-way的PDP。feature为0和1，以及一个在这两个feature之间的two-way的PDP：

>>> from sklearn.datasets import make_hastie_10_2
>>> from sklearn.ensemble import GradientBoostingClassifier
>>> from sklearn.ensemble.partial_dependence import plot_partial_dependence

>>> X, y = make_hastie_10_2(random_state=0)
>>> clf = GradientBoostingClassifier(n_estimators=100, learning_rate=1.0, max_depth=1, random_state=0).fit(X, y)
>>> features = [0, 1, (0, 1)]
>>> fig, axs = plot_partial_dependence(clf, X, features) 

对于多分类的模块，我们须要设置类的label，通过label參数来创建PDP：

>>> from sklearn.datasets import load_iris
>>> iris = load_iris()
>>> mc_clf = GradientBoostingClassifier(n_estimators=10, max_depth=1).fit(iris.data, iris.target)
>>> features = [3, 2, (3, 2)]
>>> fig, axs = plot_partial_dependence(mc_clf, X, features, label=0) 

假设你须要一个局部依赖函数的原始值，而非你使用partial_dependence函数绘制的图：

>>> from sklearn.ensemble.partial_dependence import partial_dependence

>>> pdp, axes = partial_dependence(clf, [0], X=X)
>>> pdp  
array([[ 2.46643157,  2.46643157, ...
>>> axes  
[array([-1.62497054, -1.59201391, ...

该函数须要两个參数：

• grid: 它控制着要评估的PDP的target特征的值
• X: 它提供了一个非常方便的模式来从训练数据集上自己主动创建grid。

返回值axis：

-假设给定了X，那么通过这个函数返回的axes给出了每一个target特征的axis.

对于在grid上的target特征的每一个值，PDP函数须要边缘化树的不重要特征的预測。

在决策树中。这个函数能够用来评估有效性。不须要训练集数据。对于每一个grid点。会运行一棵加权树的遍历：假设一个split节点涉及到’target’特征，那么接下去的左、右分枝，每一个分枝都会通过根据进入该分枝的训练样本的fraction进行加权。

终于，通过訪问全部叶子的平均加权得到局部依赖。对于树的ensemble来说，每棵树的结果都会被平均。

注意点：

• 带有loss=’deviance’的分类，它的target结果为logit(p)
• 初始化模型后。target结果的预測越精确。PDP图不会包括在init模型中

演示样例：Partial Dependence Plots

from: http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/60776803

ref: [Sklearn: Gradient Tree Boosting]*

[sklearn中的gbt(gbdt/gbrt)]*

[GBDT（MART） 迭代决策树新手教程 | 简单介绍 ]*

[统计学习方法 8.4提升树]

[Ensemble methods]

[Boosting Decision Tree新手教程 http://www.schonlau.net/publication/05stata_boosting.pdf]

[LambdaMART用于搜索排序新手教程 http://research.microsoft.com/pubs/132652/MSR-TR-2010-82.pdf]