群论基础速成（3）：拉格朗日定理、直积与半直积
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0. 前言
业余爱好小白的群论自学笔记。没有目的，为了学习而学习。用自己能够理解的方式沿着自己的思路进行整理记述（东施效颦小平邦彦的抄书学数学），不求严谨完备，但求逻辑连贯。
上一篇（群论基础速成（2））介绍了子群，陪集，正规子群，商群的概念。
本篇首先介绍拉格朗日定理，然后介绍由较小的群来构建较大的群的技术：直积和半直积。
下一篇将介绍（半）直积与商的关系。
1. 拉格朗日定理
【定理4】拉格朗日定理
如果H是G的子群（注意，这里由于不存在群运算符混淆的问题，所以采用群的简记形式），即，则群H的阶整除群G的阶。
证明略。由上一篇我们已经提到了，H的陪集构成了G的一个无重叠的分割(partition without overlap)，既如此，群G的阶能够被群H的阶整除就是显而易见（^-^）的了。
拉格朗日定理的意义在于为寻找一个群的子群提供了有效的帮助。其中一个重要用途就是它大大减小了子群存在的可能性，缩小了子群搜索的范围。比如说，一个12阶的群，你根本就不必考虑存在5阶或者7阶子群的可能性！
在后面介绍到对称群时会知道，任何一个有限群都同构于一个某个对称群的子群，从对称群出发，结合拉格朗日定理，就有可能“快速”地搜索列举出所有阶数在一定范围内的有限群。
拉格朗日定理反向应用成立吗？
拉格朗日定理表明，子群的阶一定整除父群的阶。一个很自然的猜测是，针对父群的阶的每一个因子，对应阶数的子群一定存在吗？答案竟然是并不一定。这个论证（哪怕是粗糙的非正式论证）目前超出了我的叙述能力和理解边界，有兴趣的伙伴可以自行寻找严谨的证明。
【定义15：子群的指数】
如果H是G的子群，定义H的指数为.
H的指数事实上就是H的左陪集的个数。这里需要注意的是，大多数情况下，当使用陪集一词的时候，我们都默认，子群本身既是一个左陪集又是一个右陪集，因为，.
当然，这里需要注意的是，相同的左陪集的不重复计数。相同的陪集是指，。
2. 直积
最简明的由较小的群构造较大的群的技术就是采用直积的方式。
【定义16】直积
给定两个群和
，定义集合GH为G和H的笛卡尔积：
, 并定义二元运算符
：
，
构成一个群，称为群
和
的直积群（direct product group），简记为
（在《群论彩图版》中是简记为
），而G和H则称为因子。
例1：
例2：，
表示Klein四元群
当群运算是加法运算(+)时，直积也称为直和(direct sum)。需要注意的时，在群论中，(+)不是一个纯抽象任意的二元运算符，而是为具有与我们所熟悉的初等数学里的加法运算有相同性质的群运算所保留的符号。比如说，初等数学里加法运算是可交换的，因此当使用(+)作为群运算符时，隐式地表明这是可交换群（阿贝尔群）。所以，直和并不是与直积并列的概念，而是一种特殊的直积。
直积群的阶
显而易见的是，直积群的阶数等于两个因子群的阶的乘积。
直积群的性质
直积群必然有子群分别同构于G和H。
令分别代表群G和H的单位元，容易证明，
,
。
可视化方式构建直积群的凯莱图
在《群论彩图版》中有精彩的描述。这里简要地搬一下砖。有兴趣的小伙伴建议参考该书。这里采用的可视化的方式是凯莱图（凯莱图在《群论基础速成（1）》中简单地提了一下，后面有机会再稍微详细一点介绍。可参考《群论彩图版》）。
利用凯莱图构造群A和群B的直积群的凯莱图的步骤如下：
- 从A的凯莱图出发，即先画出A的凯莱图
- 让A的凯莱图的每个节点膨胀变大，并用B的凯莱图的副本填充A的每个膨胀节点
- 去掉A的每个膨胀节点，同时用A的箭头（代表群A的作用）连接B的每个副本中对应的节点
例：以直积群为例进行说明，如下所示：
图1 直积群凯莱图构造过程(《群论彩图版》图7.2)
注意，当存在多个生成元时，凯莱图中通常（当然并不必然的）用不同颜色表示不同的生成元（作用）。以上构造出的直积群中，不同颜色所代表的生成元分别源于群A和群B。新的直积群有两个生成元。
同样，可以构造出直接群的凯莱图，如下图所示：
图2 直积群的凯莱图构造过程(《群论彩图版》图7.4)
不难看出，以上两个直积群是同构的。事实上，群的直积是可交换的，即对于任意两个群A和B，都有：.
构建直积群的乘法表
如前所述，凯莱图表示以基于作用的观点来看待群；而凯莱表（乘法表）则是从代数的观点来认识群。与基于两个因子群A和B的凯莱图可以直接构造出直接群的凯莱图相类似，也可以 基于两个因子群A和B可以直接构造出直接群
的凯莱表来。步骤与凯莱图的构建相类似，但是不像凯莱图的构建那么直观。此处不再赘述，可以参考《群论彩图版》7.1.4.
3. 半直积
在上一章介绍的直积群的凯莱图的构造中，强调了在每个A的膨胀节点中填入B的凯莱图的完全相同的副本，并且各副本中的对应节点之间用群A的箭头连接起来。但是，如果我们允许每个副本不完全一样（但是满足一定的约束条件）呢，会发生什么情况？
【定义17】重布线(rewiring)
称一个凯莱图是另一个凯莱图的重布线，如果以下所有条件都满足的话：
- 两个图的节点分布完全相同
- 两个图的箭头的安排可能不一样
- 两个图中的元素之间的代数关系保持相同
条件3的等价说法是：虽然两个凯莱图不一样，但是它们对应着同一个乘法表，因为描述了同一个群。这也意味着在一个图中满足的每一个方程在另一个图中都满足，这正是“代数关系”相同的含义所在。条件1和2（2其实算不得一个约束条件）比较容易直观确认，但是条件3需要仔细验证。
如下图为重布线的一个例子。
图3 左图：C3的常见形式； 右图：将左图中所有箭头都反向
下图是一个更复杂一点的例子。
图4 V4凯莱图的两种重布线凯莱图
如下图是两个反例（与正例对比着看更容易理解重布线成立的约束条件）。
图5 两个凯莱图重布线的反例：改变了箭头布置，但是没有保持代数关系
半直积群的构造
前面说过，在直积群构造中，在群A的各膨胀节点中全部放入群B的凯莱图的副本。但是，如果我们在群A的各膨胀节点中分别放入群B的凯莱图的不同的重布线副本（含群B的凯莱图自身）的话，就得到了另外一个群。这个群就叫做群A和群B的半直积群，记为
大家可能已经采到了，半直积群的构造比直积群的构造多出了一点约束条件。因为B的凯莱图的不同重布线副本的个数是确定性的，而群A的各膨胀节点中要分别放置B的凯莱图的不同重布线副本，因此要求群A的节点个数（即群A的阶）要等于B的凯莱图的不同重布线副本个数！而直积群的构造则没有这一限制。
图6 半直积群的例子：
BUT！半直积群不具有唯一性。即C3和C2可以通过半直积的方式构造出一个与S3同构的群，也可以构造成另外的半直积群来。这个问题过于复杂，就此打住。希望以后有机会另行介绍（得看我能不能搞懂它^-^）.
下一篇预告：直积、半直积与商的关系
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