【清风数学建模笔记】第十二讲：预测模型【附matlab代码】
2023-09-14 09:15:01 时间
本讲首先将介绍灰色预测模型，然后将简要
介绍神经网络在数据预测中的应用，在本讲的最
后，我将谈谈我个人对于数据预测的一些看法。
文章目录
灰色系统
灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
灰色预测对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，并生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况
GM(1,1)模型: Grey(Gray) Model
GM(1,1)是使用原始的离散非负数据列，通过一次累加生成削弱随机性的较有规律的新的离散数据列，然后通过建立微分方程模型，得到在离散点处的解经过累减生成的原始数据的近似估计值，从而预测原始数据的后续发展。（我们在此课件中只探究GM(1,1)模型，第一个‘1’表示微分方程是一阶的，后面的‘1’表示只有一个变量）
GM(1,1)原理介绍
OLS原理介绍
完全多重共线性问题再探究
一阶微分方程
准指数规律的检验
发展系数与预测情形的探究
GM(1,1)模型的评价
什么时候用灰色预测？
（1）数据是以年份度量的非负数据（如果是月份或者季度数据一定要用我们上一讲学过的时间序列模型）；
（2）数据能经过准指数规律的检验（除了前两期外，后面至少90%的期数的光滑比要低于0.5）；
（3）数据的期数较短且和其他数据之间的关联性不强（小于等于10，也不能太短了，比如只有3期数据），要是数据期数较长，一般用传统的时间序列模型比较合适。
灰色预测的例题
预测的题目的一些小套路
（1）看到数据后先画时间序列图并简单的分析下趋势（例如：我们上一讲学过的时间序列分解）；
（2）将数据分为训练组和试验组，尝试使用不同的模型对训练组进行建模，并利用试验组的数据判断哪种模型的预测效果最好（比如我们可以使用SSE这个指标来挑选模型，常见的
模型有指数平滑、ARIMA、灰色预测、神经网络等）。
（3）选择上一步骤中得到的预测误差最小的那个模型，并利用全部数据来重新建模，并对未来的数据进行预测。
（4）画出预测后的数据和原来数据的时序图，看看预测的未来趋势是否合理。
GM(1,1)模型代码讲解
- 画出原始数据的时间序列图，并判断原始数据中是否有负数或期数是否低于4期，如果是的话则报错，否则执行下一步；
- 对一次累加后的数据进行准指数规律检验，返回两个指标：指标1：光滑比小于0.5的数据占比（一般要大于60%）指标2：除去前两个时期外，光滑比小于0.5的数据占比（一般大于90%）并让用户决定数据是否满足准指数规律，满足则输入1，不满足则输入0
- 如果上一步用户输入0，则程序停止；如果输入1，则继续下面的步骤。
- 让用户输入需要预测的后续期数，并判断原始数据的期数：
4.1 数据期数为4：
分别计算出传统的GM(1,1)模型、新信息GM(1,1)模型和新陈代谢GM(1,1)模型对于未来期数的预测结果，为了保证结果的稳健性，对三个结果求平均值作为预测值。
4.2 数据期数为5,6或7：
取最后两期为试验组，前面的n‐2期为训练组；用训练组的数据分别训练三种GM模型，并将训练出来的模型分别用于预测试验组的两期数据；利用试验组两期的真实数据和预测出来的两期数据，可分别计算出三个模型的SSE；选择SSE最小的模型作为我们建模的模型。
4.3 数据期数大于7：
取最后三期为试验组，其他的过程和4.2类似。 - 输出并绘制图形显示预测结果，并进行残差检验和级比偏差检验
灰色预测运行结果
更换新的数据集1
更换新的数据集2
更换新的数据集3
BP神经网络预测——万金油
神经网络原理的简单介绍：https://blog.csdn.net/weixin_40432828/article/details/82192709
神经网络的应用：https://blog.csdn.net/houshaolin/article/details/74240017
神经网络的介绍
机器学习中的训练集，验证集和测试集
训练集（Training set） —— 用于模型拟合的数据样本。
验证集（Validation set）—— 是模型训练过程中单独留出的样本集，它可以用于调整模型的超参数和用于对模型的能力进行初步评估。在神经网络中，我们用验证数据集去寻找最优的网络深度，或者决定反向传播算法的停止点或者在神经网络中选择隐藏层神经元的数量；
测试集（Testing set） —— 用来评估模最终模型的泛化能力。但不能作为调参、选择特征等算法相关的选择的依据。
一个形象的比喻：
训练集‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐学生的课本；学生根据课本里的内容来掌握知识。
验证集‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐作业，通过作业可以知道不同学生学习情况、进步的速度快慢。
测试集‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐考试，考的题是平常都没有见过，考察学生举一反三的能力。
例题1：辛烷值的预测
数据的导入
使用神经网络进行预测
关键的步骤
结果分析
结果分析
保存结果
保存结果并对进行预测
例题2：神经网络在多输出中的运用
作业
2、棉花单产预测
代码
灰色预测
使用方法
（1）将四个文件放到一个文件夹
（2）更改matlab的工作路径到这个文件夹下
（3）打开main函数（其他三个函数是子函数）
（4）更改main函数中的数据为你自己的时间序列数据
（5）我的例子中的数据是排污总量，因此你需要将所有的排污总量字眼替换成你的指标，例如：销量、消费等
（替换方法：快捷键Ctrl+F ，查找内容填写：排污总量，替换为填写：你自己的指标 然后点击全部替换）
main函数
%% 输入原始数据并做出时间序列图
clear;clc
year =[1995:1:2004]'; % 横坐标表示年份，写成列向量的形式（加'就表示转置）
x0 = [174,179,183,189,207,234,220.5,256,270,285]'; %原始数据序列，写成列向量的形式（加'就表示转置）
% year = [2009:2015]; % 其实本程序写成了行向量也可以，因为我怕你们真的这么写了，所以在后面会有判断。
% x0 = [730, 679, 632, 599, 589, 532, 511];
% year = [2010:2017]'; % 该数据很特殊，可以通过准指数规律检验，但是预测效果却很差
% x0 = [1.321,0.387,0.651,0.985,1.235,0.987,0.854,1.021]';
% year = [2014:2017]';
% x0 = [2.874,3.278,3.337,3.390]';
% 画出原始数据的时间序列图
figure(1); % 因为我们的图形不止一个，因此要设置编号
plot(year,x0,'o-'); grid on; % 原式数据的时间序列图
set(gca,'xtick',year(1:1:end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1
xlabel('年份'); ylabel('排污总量'); % 给坐标轴加上标签
%% 因为我们要使用GM(1,1)模型，其适用于数据期数较短的非负时间序列
ERROR = 0; % 建立一个错误指标，一旦出错就指定为1
% 判断是否有负数元素
if sum(x0<0) > 0 % x0<0返回一个逻辑数组(0-1组成)，如果有数据小于0，则所在位置为1，如果原始数据均为非负数，那么这个逻辑数组中全为0，求和后也是0~
disp('亲，灰色预测的时间序列中不能有负数哦')
ERROR = 1;
end
% 判断数据量是否太少
n = length(x0); % 计算原始数据的长度
disp(strcat('原始数据的长度为',num2str(n))) % strcat()是连接字符串的函数，第一讲学了，可别忘了哦
if n<=3
disp('亲，数据量太小，我无能为力哦')
ERROR = 1;
end
% 数据太多时提示可考虑使用其他方法（不报错）
if n>10
disp('亲，这么多数据量，一定要考虑使用其他的方法哦，例如ARIMA，指数平滑等')
end
% 判断数据是否为列向量，如果输入的是行向量则转置为列向量
if size(x0,1) == 1
x0 = x0';
end
if size(year,1) == 1
year = year';
end
%% 对一次累加后的数据进行准指数规律的检验(注意，这个检验有时候即使能通过，也不一定能保证预测结果非常好，例如上面的第三组数据)
if ERROR == 0 % 如果上述错误均没有发生时，才能执行下面的操作步骤
disp('------------------------------------------------------------')
disp('准指数规律检验')
x1 = cumsum(x0); % 生成1-AGO序列，cumsum是累加函数哦~ 注意：1.0e+03 *0.1740的意思是科学计数法,即10^3*0.1740 = 174
rho = x0(2:end) ./ x1(1:end-1) ; % 计算光滑度rho(k) = x0(k)/x1(k-1)
% 画出光滑度的图形，并画上0.5的直线，表示临界值
figure(2)
plot(year(2:end),rho,'o-',[year(2),year(end)],[0.5,0.5],'-'); grid on;
text(year(end-1)+0.2,0.55,'临界线') % 在坐标(year(end-1)+0.2,0.55)上添加文本
set(gca,'xtick',year(2:1:end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1
xlabel('年份'); ylabel('原始数据的光滑度'); % 给坐标轴加上标签
disp(strcat('指标1：光滑比小于0.5的数据占比为',num2str(100*sum(rho<0.5)/(n-1)),'%'))
disp(strcat('指标2：除去前两个时期外，光滑比小于0.5的数据占比为',num2str(100*sum(rho(3:end)<0.5)/(n-3)),'%'))
disp('参考标准：指标1一般要大于60%, 指标2要大于90%，你认为本例数据可以通过检验吗？')
Judge = input('你认为可以通过准指数规律的检验吗？可以通过请输入1，不能请输入0：');
if Judge == 0
disp('亲，灰色预测模型不适合你的数据哦~ 请考虑其他方法吧 例如ARIMA，指数平滑等')
ERROR = 1;
end
disp('------------------------------------------------------------')
end
%% 当数据量大于4时，我们利用试验组来选择使用传统的GM(1,1)模型、新信息GM(1,1)模型还是新陈代谢GM(1,1)模型； 如果数据量等于4，那么我们直接对三种方法求一个平均来进行预测
if ERROR == 0 % 如果上述错误均没有发生时，才能执行下面的操作步骤
if n > 4 % 数据量大于4时，将数据分为训练组和试验组(根据原数据量大小n来取，n为5-7个则取最后两年为试验组，n大于7则取最后三年为试验组)
disp('因为原数据的期数大于4，所以我们可以将数据组分为训练组和试验组') % 注意，如果试验组的个数只有1个，那么三种模型的结果完全相同，因此至少要取2个试验组
if n > 7
test_num = 3;
else
test_num = 2;
end
train_x0 = x0(1:end-test_num); % 训练数据
disp('训练数据是: ')
disp(mat2str(train_x0')) % mat2str可以将矩阵或者向量转换为字符串显示, 这里加一撇表示转置，把列向量变成行向量方便观看
test_x0 = x0(end-test_num+1:end); % 试验数据
disp('试验数据是: ')
disp(mat2str(test_x0')) % mat2str可以将矩阵或者向量转换为字符串显示
disp('------------------------------------------------------------')
% 使用三种模型对训练数据进行训练，返回的result就是往后预测test_num期的数据
disp(' ')
disp('***下面是传统的GM(1,1)模型预测的详细过程***')
result1 = gm11(train_x0, test_num); %使用传统的GM(1,1)模型对训练数据，并预测后test_num期的结果
disp(' ')
disp('***下面是进行新信息的GM(1,1)模型预测的详细过程***')
result2 = new_gm11(train_x0, test_num); %使用新信息GM(1,1)模型对训练数据，并预测后test_num期的结果
disp(' ')
disp('***下面是进行新陈代谢的GM(1,1)模型预测的详细过程***')
result3 = metabolism_gm11(train_x0, test_num); %使用新陈代谢GM(1,1)模型对训练数据，并预测后test_num期的结果
% 现在比较三种模型对于试验数据的预测结果
disp(' ')
disp('------------------------------------------------------------')
% 绘制对试验数据进行预测的图形（对于部分数据，可能三条直线预测的结果非常接近）
test_year = year(end-test_num+1:end); % 试验组对应的年份
figure(3)
plot(test_year,test_x0,'o-',test_year,result1,'*-',test_year,result2,'+-',test_year,result3,'x-'); grid on;
set(gca,'xtick',year(end-test_num+1): 1 :year(end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1
legend('试验组的真实数据','传统GM(1,1)预测结果','新信息GM(1,1)预测结果','新陈代谢GM(1,1)预测结果') % 注意：如果lengend挡着了图形中的直线，那么lengend的位置可以自己手动拖动
xlabel('年份'); ylabel('排污总量'); % 给坐标轴加上标签
% 计算误差平方和SSE
SSE1 = sum((test_x0-result1).^2);
SSE2 = sum((test_x0-result2).^2);
SSE3 = sum((test_x0-result3).^2);
disp(strcat('传统GM(1,1)对于试验组预测的误差平方和为',num2str(SSE1)))
disp(strcat('新信息GM(1,1)对于试验组预测的误差平方和为',num2str(SSE2)))
disp(strcat('新陈代谢GM(1,1)对于试验组预测的误差平方和为',num2str(SSE3)))
if SSE1<SSE2
if SSE1<SSE3
choose = 1; % SSE1最小，选择传统GM(1,1)模型
else
choose = 3; % SSE3最小，选择新陈代谢GM(1,1)模型
end
elseif SSE2<SSE3
choose = 2; % SSE2最小，选择新信息GM(1,1)模型
else
choose = 3; % SSE3最小，选择新陈代谢GM(1,1)模型
end
Model = {'传统GM(1,1)模型','新信息GM(1,1)模型','新陈代谢GM(1,1)模型'};
disp(strcat('因为',Model(choose),'的误差平方和最小，所以我们应该选择其进行预测'))
disp('------------------------------------------------------------')
%% 选用误差最小的那个模型进行预测
predict_num = input('请输入你要往后面预测的期数： ');
% 计算使用传统GM模型的结果，用来得到另外的返回变量：x0_hat, 相对残差relative_residuals和级比偏差eta
[result, x0_hat, relative_residuals, eta] = gm11(x0, predict_num); % 先利用gm11函数得到对原数据拟合的详细结果
% % 判断我们选择的是哪个模型，如果是2或3，则更新刚刚由模型1计算出来的预测结果
if choose == 2
result = new_gm11(x0, predict_num);
end
if choose == 3
result = metabolism_gm11(x0, predict_num);
end
%% 输出使用最佳的模型预测出来的结果
disp('------------------------------------------------------------')
disp('对原始数据的拟合结果：')
for i = 1:n
disp(strcat(num2str(year(i)), ' ： ',num2str(x0_hat(i))))
end
disp(strcat('往后预测',num2str(predict_num),'期的得到的结果：'))
for i = 1:predict_num
disp(strcat(num2str(year(end)+i), ' ： ',num2str(result(i))))
end
%% 如果只有四期数据，那么我们就没必要选择何种模型进行预测，直接对三种模型预测的结果求一个平均值~
else
disp('因为数据只有4期，因此我们直接将三种方法的结果求平均即可~')
predict_num = input('请输入你要往后面预测的期数： ');
disp(' ')
disp('***下面是传统的GM(1,1)模型预测的详细过程***')
[result1, x0_hat, relative_residuals, eta] = gm11(x0, predict_num);
disp(' ')
disp('***下面是进行新信息的GM(1,1)模型预测的详细过程***')
result2 = new_gm11(x0, predict_num);
disp(' ')
disp('***下面是进行新陈代谢的GM(1,1)模型预测的详细过程***')
result3 = metabolism_gm11(x0, predict_num);
result = (result1+result2+result3)/3;
disp('对原始数据的拟合结果：')
for i = 1:n
disp(strcat(num2str(year(i)), ' ： ',num2str(x0_hat(i))))
end
disp(strcat('传统GM(1,1)往后预测',num2str(predict_num),'期的得到的结果：'))
for i = 1:predict_num
disp(strcat(num2str(year(end)+i), ' ： ',num2str(result1(i))))
end
disp(strcat('新信息GM(1,1)往后预测',num2str(predict_num),'期的得到的结果：'))
for i = 1:predict_num
disp(strcat(num2str(year(end)+i), ' ： ',num2str(result2(i))))
end
disp(strcat('新陈代谢GM(1,1)往后预测',num2str(predict_num),'期的得到的结果：'))
for i = 1:predict_num
disp(strcat(num2str(year(end)+i), ' ： ',num2str(result3(i))))
end
disp(strcat('三种方法求平均得到的往后预测',num2str(predict_num),'期的得到的结果：'))
for i = 1:predict_num
disp(strcat(num2str(year(end)+i), ' ： ',num2str(result(i))))
end
end
%% 绘制相对残差和级比偏差的图形(注意：因为是对原始数据的拟合效果评估，所以三个模型都是一样的哦~~~)
figure(4)
subplot(2,1,1) % 绘制子图（将图分块）
plot(year(2:end), relative_residuals,'*-'); grid on; % 原数据中的各时期和相对残差
legend('相对残差'); xlabel('年份');
set(gca,'xtick',year(2:1:end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1
subplot(2,1,2)
plot(year(2:end), eta,'o-'); grid on; % 原数据中的各时期和级比偏差
legend('级比偏差'); xlabel('年份');
set(gca,'xtick',year(2:1:end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1
disp(' ')
disp('****下面将输出对原数据拟合的评价结果***')
%% 残差检验
average_relative_residuals = mean(relative_residuals); % 计算平均相对残差 mean函数用来均值
disp(strcat('平均相对残差为',num2str(average_relative_residuals)))
if average_relative_residuals<0.1
disp('残差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度非常不错')
elseif average_relative_residuals<0.2
disp('残差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度达到一般要求')
else
disp('残差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度不太好，建议使用其他模型预测')
end
%% 级比偏差检验
average_eta = mean(eta); % 计算平均级比偏差
disp(strcat('平均级比偏差为',num2str(average_eta)))
if average_eta<0.1
disp('级比偏差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度非常不错')
elseif average_eta<0.2
disp('级比偏差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度达到一般要求')
else
disp('级比偏差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度不太好，建议使用其他模型预测')
end
disp(' ')
disp('------------------------------------------------------------')
%% 绘制最终的预测效果图
figure(5) % 下面绘图中的符号m:洋红色 b:蓝色
plot(year,x0,'-o', year,x0_hat,'-*m', year(end)+1:year(end)+predict_num,result,'-*b' ); grid on;
hold on;
plot([year(end),year(end)+1],[x0(end),result(1)],'-*b')
legend('原始数据','拟合数据','预测数据') % 注意：如果lengend挡着了图形中的直线，那么lengend的位置可以自己手动拖动
set(gca,'xtick',[year(1):1:year(end)+predict_num]) % 设置x轴横坐标的间隔为1
xlabel('年份'); ylabel('排污总量'); % 给坐标轴加上标签
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
gm11
function [result, x0_hat, relative_residuals, eta] = gm11(x0, predict_num)
% 函数作用：使用传统的GM(1,1)模型对数据进行预测
% x0：要预测的原始数据
% predict_num： 向后预测的期数
% 输出变量 （注意，实际调用时该函数时不一定输出全部结果，就像corrcoef函数一样~，可以只输出相关系数矩阵，也可以附带输出p值矩阵）
% result：预测值
% x0_hat：对原始数据的拟合值
% relative_residuals： 对模型进行评价时计算得到的相对残差
% eta： 对模型进行评价时计算得到的级比偏差
n = length(x0); % 数据的长度
x1=cumsum(x0); % 计算一次累加值
z1 = (x1(1:end-1) + x1(2:end)) / 2; % 计算紧邻均值生成数列（长度为n-1）
% 将从第二项开始的x0当成y，z1当成x，来进行一元回归 y = kx +b
y = x0(2:end); x = z1;
% 下面的表达式就是第四讲拟合里面的哦~ 但是要注意，此时的样本数应该是n-1，少了一项哦
k = ((n-1)*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/((n-1)*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x));
b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/((n-1)*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x));
a = -k; %注意：k = -a哦
% 注意： -a就是发展系数, b就是灰作用量
disp('现在进行GM(1,1)预测的原始数据是: ')
disp(mat2str(x0')) % mat2str可以将矩阵或者向量转换为字符串显示
disp(strcat('最小二乘法拟合得到的发展系数为',num2str(-a),'，灰作用量是',num2str(b)))
disp('***************分割线***************')
x0_hat=zeros(n,1); x0_hat(1)=x0(1); % x0_hat向量用来存储对x0序列的拟合值，这里先进行初始化
for m = 1: n-1
x0_hat(m+1) = (1-exp(a))*(x0(1)-b/a)*exp(-a*m);
end
result = zeros(predict_num,1); % 初始化用来保存预测值的向量
for i = 1: predict_num
result(i) = (1-exp(a))*(x0(1)-b/a)*exp(-a*(n+i-1)); % 带入公式直接计算
end
% 计算绝对残差和相对残差
absolute_residuals = x0(2:end) - x0_hat(2:end); % 从第二项开始计算绝对残差，因为第一项是相同的
relative_residuals = abs(absolute_residuals) ./ x0(2:end); % 计算相对残差，注意分子要加绝对值，而且要使用点除
% 计算级比和级比偏差
class_ratio = x0(2:end) ./ x0(1:end-1) ; % 计算级比 sigma(k) = x0(k)/x0(k-1)
eta = abs(1-(1-0.5*a)/(1+0.5*a)*(1./class_ratio)); % 计算级比偏差
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
new_gm11
function [result] = new_gm11(x0, predict_num)
% 函数作用：使用新信息的GM(1,1)模型对数据进行预测
% 输入变量
% x0：要预测的原始数据
% predict_num： 向后预测的期数
% 输出变量
% result：预测值
result = zeros(predict_num,1); % 初始化用来保存预测值的向量
for i = 1 : predict_num
result(i) = gm11(x0, 1); % 将预测一期的结果保存到result中
x0 = [x0; result(i)]; % 更新x0向量，此时x0多了新的预测信息
end
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
metabolism_gm11
function [result] = metabolism_gm11(x0, predict_num)
% 函数作用：使用新陈代谢的GM(1,1)模型对数据进行预测
% 输入变量
% x0：要预测的原始数据
% predict_num： 向后预测的期数
% 输出变量
% result：预测值
result = zeros(predict_num,1); % 初始化用来保存预测值的向量
for i = 1 : predict_num
result(i) = gm11(x0, 1); % 将预测一期的结果保存到result中
x0 = [x0(2:end); result(i)]; % 更新x0向量，此时x0多了新的预测信息，并且删除了最开始的那个向量
end
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
神经网络
%% 下面是代码，matlab2017a至matlab2021a版本通用
load data_Octane.mat
% 在Matlab的菜单栏点击APP，再点击Neural Fitting app.
% 利用训练出来的神经网络模型对数据进行预测
% 例如我们要预测编号为51的样本，其对应的401个吸光度为：new_X(1,:)
% sim(net, new_X(1,:))
% 错误使用 network/sim (line 266)
% Input data sizes do not match net.inputs{1}.size.
% net.inputs{1}.size
% 这里要注意，我们要将指标变为列向量，然后再用sim函数预测
sim(net, new_X(1,:)')
%
% 写一个循环，预测接下来的十个样本的辛烷值
predict_y = zeros(10,1); % 初始化predict_y
for i = 1: 10
result = sim(net, new_X(i,:)');
predict_y(i) = result;
end
disp('预测值为：')
disp(predict_y)
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
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