Question

一个正整数 n
可以表示成若干个正整数之和，形如：n=n1+n2+…+nk
，其中 n1≥n2≥…≥nk,k≥1
。

我们将这样的一种表示称为正整数 n
的一种划分。

现在给定一个正整数 n
，请你求出 n
共有多少种不同的划分方法。

输入格式
共一行，包含一个整数 n
。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示总划分数量。

由于答案可能很大，输出结果请对 109+7
取模。

数据范围
1≤n≤1000
输入样例:
5
输出样例：
7

Ideas

• 完全背包
• 计数DP

Code

• 完全背包

#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;
int f[N][N];

int main()
{
    int n;
    
    scanf("%d", &n);
    
    for (int i = 0; i <= n; i ++) f[i][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            for (int k = 0; k * i <= j; k ++)
            {
                f[i][j] = (f[i][j] + f[i-1][j-k*i]) % mod;
            }
        }
    }
    
    printf("%d", f[n][n] % mod);
    
    return 0;
}

• 优化

#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;
int f[N][N];

int main()
{
    int n;
    
    scanf("%d", &n);
    
    for (int i = 0; i <= n; i ++) f[i][0] = 1;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            f[i][j] = f[i-1][j] % mod;
            if (i <= j)
                f[i][j] = (f[i][j] + f[i][j-i]) % mod;
        }
    }
    
    printf("%d", f[n][n] % mod);
    
    return 0;
}

• 一维

#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;
int f[N];

int main()
{
    int n;
    
    scanf("%d", &n);
    
    // for (int i = 0; i <= n; i ++) f[i][0] = 1;
    f[0] = 1;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = i; j <= n; j ++)
        {
            f[j] = (f[j] + f[j-i]) % mod;
        }
    }
    
    printf("%d", f[n] % mod);
    
    return 0;
}

• 计数DP

#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;
int f[N][N];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
   
    f[0][0] = 1;

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 1; j <= i; j ++) // i最多由i个正数相加而来
        {
            f[i][j] = (f[i-1][j-1] + f[i-j][j]) % mod;
        }
    }
    
    int res = 0;
    
    for (int j = 1; j <= n; j ++) res = (res + f[n][j]) % mod;
    
    printf("%d", res % mod);
    return 0;
}