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量子笔记：全局相位、相对相位、布洛赫球面

笔记 全局 量子 相对 相位
2023-09-14 09:15:00 时间

目录

0. 概要

1. 全局相位

2. 相对相位

3. 布洛赫球面

4. 布洛赫球面坐标与笛卡尔坐标的转换

5. 3种基底

6. 布洛赫球、纯态与混合态

0. 概要


        量子计算、量子信息、量子编程自学笔记系列。

        用自己能看懂的方式来表述对于量子计算基础知识的理解。

        不求体系完备和逻辑严谨、但求通俗易懂。或能顺便给路过的小伙伴一些参考和启发那是纯属巧合概不认账^-^。当然，这里仅限于轮廓的勾勒和要点的连接，对细节感兴趣的话还是要找正经的参考书。
        本节介绍全局相位以及量子态的等价性，相对相位，以及基于布洛赫球面的量子态的表示。

1. 全局相位

        任意一个量子比特的状态可以表达为两个基态（通常取计算基底的两个基向量）的叠加态，如下所示：

                \bold{v} = a |0\rangle + b |1\rangle, a,b \in \mathbb{C}, |a|^2+|b|^2=1

        考虑另一个量子态 \bold{w} = \bold{v} \cdot e^{i\phi} = a e^{i\phi} |0\rangle + b e^{i\phi} |1\rangle，对\bold{w}进行观测我们会发现，它坍缩到|0\rangle和坍缩到|1\rangle的概率仍然分别是|a|^2和|b|^2，与对\bold{v}进行观测的坍缩概率是相同的！

        换句话说，从观测的角度来说，\bold{w}和\bold{v}是不可区分的。或者说，e^{i \phi}是不可观测的。e^{i \phi}被称为全局相位因子（global phase factor），相应地\phi被称为全局相位。

        当两个量子态之间只相差一个全局相位因子（比如说上述 \bold{w}和\bold{v}），（因为它们从观测上是不可区分的），它们被认为是相同的或者说等价的。

2. 相对相位

        仍然考虑\bold{v} = a |0\rangle + b |1\rangle, a,b \in \mathbb{C}, |a|^2+|b|^2=1，由于a和b均为复数，它们分别可以表示为a = r_1 e^{i \phi_1}，b = r_2 e^{i \phi_2}，其中，r_1, r_2 \in \mathbb{R}, |r_1|^2 + |r_2|^2 = 1。

        进一步，由上一节的结论可知（用\cong表示量子态的等价）：

                \bold{v} = r_1 e^{i\phi_1} |0\rangle+ r_2 e^{i\phi_2}|1\rangle \cong r_1|0\rangle + r_2 e^{i(\phi_2-\phi_1)}|1\rangle

         其中，(\phi_2-\phi_1)被称为相对相位。目前我们还不知道相对相位有什么意义，到讨论干涉（interference）的时候就能看出相对相位的重要性了。

3. 布洛赫球面

        到目前为止所讨论的量子比特的叠加态表示是在复希尔伯特空间\mathbb{C}^2中的表示，\mathbb{C}^2（可视为\mathbb{R}^4)相当于4维空间。对于生活在3维空间的我们来说，这种表示法的一个不好的地方是难以进行可视化处理。但是这个当然难不住科学家们。。。

        基于以上两节的讨论，我们知道，量子态表示的自由度并不是4。由于|a|^2+|b|^2=1的约束，量子态可视为分布在 \mathbb{C}^2（可视为\mathbb{R}^4)中单位超球面上的点，因此可以通过非线性投影的方式映射到\mathbb{R}^3中的单位球面上来。其中的关键要点是：忽视全局相位；换句话说，将所有相差e^{i\phi}倍的量子态视为同一的量子态。

        基于上一节的讨论，我们知道了量子态可以表示为

                \bold{v} = r_1|0\rangle + r_2 e^{i\phi}|1\rangle, r_1,r_2 \in \mathbb{R}, |r_1|^2 + |r_2|^2=1,0\leq \phi \leq 2\pi

        由于 |r_1|^2 + |r_2|^2=1，所以总能找到某个0\leq\theta\leq\pi，使得：

                r_1 = cos(\frac{\theta}{2}), r_2 = sin(\frac{\theta}{2})

        这样，我们就可以得到另一种量子态的表示方式：

                \bold{v} = cos(\frac{\theta}{2})|0\rangle + sin(\frac{\theta}{2})e^{i\phi}|1\rangle \ 0\leq\theta\leq\pi, 0\leq\phi\leq2\pi

         这样，每一个由(\theta, \phi)决定的量子态可以映射到三维空间的单位球面的一个点。如下图所示，这样的单位球面称为布洛赫球面，得名于物理学家利克斯.布洛赫（因为核磁共振方面的研究而获得1962年的诺贝尔物理学奖）。

图1 布洛赫球面 

        By convention, 以单位球面与z轴正向交点（俗称北极点）代表|0\rangle，以另一端的交点（南极点）代表|1\rangle。

4. 布洛赫球面坐标与\mathbb{R}^3笛卡尔坐标的转换

        如上所示，表示量子态的点（向量）落在布洛赫球面上，由(\theta, \phi)表示，球面到远点的距离为1，因此可以视为由球坐标(r_0=1, \theta, \phi)表示的点，对应的\mathbb{R}^3笛卡尔坐标如下所示： 

                        \begin{align} x &= sin(\theta) cos(\phi) \\ y &= sin(\theta) sin(\phi) \\ z &= cos(\theta)\end{align}

        |0\rangle对应的布洛赫球面坐标为(\theta , \phi) = (0,0)，笛卡尔坐标为(x,y,z) = (0,0,1).

        |1\rangle对应的布洛赫球面坐标为(\theta,\phi) = (\pi, 0)，笛卡尔坐标为(x,y,z)=(0,0,-1).

5. 3种基底

        由上面两节讨论可知，计算基底(|0\rangle, |1\rangle)的两个基向量分别对应布洛赫球面的北极点和南极点。

        同样的，

        球面与x轴的两个交点所代表的向量也构成一组标准正交基，记为(|+\rangle, |-\rangle)，称为阿达马（或哈达玛，Hadamard）基底

        球面与y轴的两个交点所代表的向量也构成一组标准正交基，记为(|i\rangle, |-i\rangle)，称为圆基底

        这是量子计算中常用的三种基底，它们的各种表示汇总如下所示：

6. 布洛赫球、纯态与混合态

        布洛赫球（Bloch ball）是布洛赫球面的扩充。

        在布洛赫球面上的点表示的量子态称为纯态，而出现在球内的点（离球心距离<1的点）所表示的量子态称为混合态（mixed state）。球心该点所代表的量子状态是最大混合态（maximally mixed state）。

        混合态相关不甚了解。。。就不瞎装了。。。先补课后再来补充。

本系列总目录：

量子笔记：量子计算祛魅icon-default.png?t=M85Bhttps://chenxiaoyuan.blog.csdn.net/article/details/127251274

参考文献：

[1] 罗伯特.S.苏托尔 著，吴攀译：与量子比特共舞，人民邮电出版社 

[2] 克里斯.伯恩哈特 著，邱道文 周旭 等译：人人可懂的量子计算 

[3] 布洛赫球面_百度百科 (baidu.com) 

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