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【随机过程】t分布、卡方分布、F分布、均匀分布、正态分布、指数分布、几何分布、二项分布、泊松分布、0-1分布等分布的分布律、期望、方差和特征函数汇总

过程 汇总 随机 分布 几何 期望 方差 正态分布
2023-09-14 09:13:07 时间
分布分布律或概率密度期望方差特征函数
0-1分布 P ( X = 1 ) = p , P ( X = 0 ) = q , 0 < p < 1 , p + q = 1 P(X=1)=p,P(X=0)=q,\\0<p<1,p+q=1 P(X=1)=p,P(X=0)=q,0<p<1,p+q=1ppq q + p e i t q+pe^{it} q+peit
二项分布 P ( X = k ) = C n k p k q n − k 0 < p < 1 , p + q = 1 , k = 0... n P(X=k) = C_n^kp^kq^{n-k} \\0<p<1,p+q=1,k=0...n P(X=k)=Cnk​pkqn−k0<p<1,p+q=1,k=0...nnpnpq ( q + p e i t ) n (q+pe^{it})^n (q+peit)n
泊松分布 P ( X = k ) = λ k k ! e − λ , λ > 0 , k = 0.... n P(X=k)=\frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda},\\\lambda>0,k=0....n P(X=k)=k!λk​e−λ,λ>0,k=0....n λ \lambda λ λ \lambda λ e λ ( e i t − 1 ) e^{\lambda(e^{it}-1)} eλ(eit−1)
几何分布 P ( X = k ) = p q k − 1 , 0 < p < 1 , p + q = 1 , k = 1... n P(X=k)=pq^{k-1},\\0<p<1,p+q=1,k=1...n P(X=k)=pqk−1,0<p<1,p+q=1,k=1...n 1 p \frac{1}{p} p1​ q p 2 \frac{q}{p^2} p2q​ p e i t 1 − q e i t \frac{pe^{it}}{1-qe^{it}} 1−qeitpeit​
均匀分布x~(a,b) f ( x ) = { 1 b − a a < x < b 0 其 他 \\f(x)= \begin{cases}\frac{1}{b-a} &a<x<b\\ 0& 其他\end{cases} f(x)={b−a1​0​a<x<b其他​ a + b 2 \frac{a+b}{2} 2a+b​ ( b − a ) 2 12 \frac{(b-a)^2}{12} 12(b−a)2​ e i b t − e i a t i ( b − a ) t \frac{e^{ibt}-e^{iat}}{i(b-a)t} i(b−a)teibt−eiat​
正态分布N~ ( μ , σ 2 ) (\mu,\sigma^2) (μ,σ2) f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f(x)=\frac{1}{{\sqrt{2\pi} \sigma}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} f(x)=2π ​σ1​e−2σ2(x−μ)2​ μ \mu μ σ 2 \sigma^2 σ2 e i μ t − 1 2 σ 2 t 2 e^{i\mu t -\frac{1}{2}\sigma^2t^2} eiμt−21​σ2t2
指数分布 f ( x ) = { λ e − λ x 0 ≤ x 0 x < 0 , λ > 0 f(x) = \begin{cases}\lambda e^{-\lambda x} & 0 \leq x\\ 0 &x<0\end{cases},\lambda >0 f(x)={λe−λx0​0≤xx<0​,λ>0 1 λ \frac{1}{\lambda} λ1​ 1 λ 2 \frac{1}{\lambda ^2} λ21​ ( 1 − i t λ ) − 1 (1-\frac{it}{\lambda})^{-1} (1−λit​)−1
卡方分布X~ x 2 ( n ) x^2(n) x2(n)n2n—
t分布 t～ Z Y / n \frac{Z}{\sqrt{Y/n}} Y/n ​Z​Z～N(0,1)服从标准正态分布,Y~ x 2 ( N ) x^2(N) x2(N) 服从卡方分布 n > = 2 , 0 n>=2,0 n>=2,0 n > = 3 , n n − 2 n>=3,\frac{n}{n-2} n>=3,n−2n​—
F分布X~ F ( m , n ) F(m,n) F(m,n) X = Y / m Z / n = n Y m Z Y , Z 服 从 自 由 度 为 m 和 n 的 x 2 分 布 X =\frac{Y/m}{Z/n} = \frac{nY}{mZ} \\Y,Z服从自由度为m和n的x^2分布 X=Z/nY/m​=mZnY​Y,Z服从自由度为m和n的x2分布 n > 2 , n n − 2 n>2,\frac{n}{n-2} n>2,n−2n​ n > 4 , 2 n 2 ( m + n − 2 ) m ( n − 2 ) 2 ( n − 4 ) n>4,\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)} n>4,m(n−2)2(n−4)2n2(m+n−2)​—

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