随机信号处理笔记: 零中频处理技术及Hilbert变换

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——南京理工大学顾红老师的《随机信号处理》浅析

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引言

1. 雷达接收机首先将输入的高频窄带信号进行下混频处理。得到含有幅度和相位信息的中频信号。然后将得到的中频信号，分双通道通过相位检波器处理，低通滤波后得到相互正交的双通道低频信号（零中频信号）。

2. 由于实信号用复信号表示可以带来理论分析和计算中的方便，另外在信号处理过程中可以带来3dB的信噪比增益，引入了希尔伯特变换，可以将实信号用复信号唯一表示。

（建议：本篇公式较长，为方便阅读，请在电脑端查看。）

1.零中频处理技术

图中$s(t)$与$2\cos ({\omega }_{0}t)$相乘得到同相支路$s_I(t)$；$s(t)$与$-2\sin ({\omega }_{0}t)$相乘得到正交支路$s_Q(t)$。

其中$s(t)=a_s(t)\cos [{\omega }_{0}t+{\phi }_s(t)]$。推导过程如下：

• 同相支路：

s ( t ) ⋅ 2 cos ⁡ ( ω 0 t ) = 2 a s ( t ) cos ⁡ [ ω 0 t + φ s ( t ) ] cos ⁡ ( ω 0 t ) = 2 a s ( t ) [ cos ⁡ ω 0 t cos ⁡ φ s ( t ) − sin ⁡ ω 0 t sin ⁡ φ s ( t ) ] cos ⁡ ( ω 0 t ) = 2 a s ( t ) { 1 2 [ 1 + cos ⁡ ( 2 ω 0 t ) ] cos ⁡ φ s ( t ) − 1 2 sin ⁡ 2 ω 0 t sin ⁡ φ s ( t ) } \begin{aligned} s(t)\cdot2\cos (\omega_0t) &=2a_s(t)\cos [\omega_0t+\varphi _s(t)]\cos(\omega_0t)\\ &=2a_s(t)[\cos \omega_0t\cos\varphi_s(t)-\sin\omega_0t\sin\varphi _s(t)]\cos(\omega_0t)\\ &=2a_s(t)\{\frac{1}{2} [1+\cos(2\omega_0t)]\cos\varphi_s(t)-\frac{1}{2}\sin2\omega_0t\sin\varphi_s(t)\} \end{aligned} s(t)⋅2cos(ω0​t)​=2as​(t)cos[ω0​t+φs​(t)]cos(ω0​t)=2as​(t)[cosω0​tcosφs​(t)−sinω0​tsinφs​(t)]cos(ω0​t)=2as​(t){21​[1+cos(2ω0​t)]cosφs​(t)−21​sin2ω0​tsinφs​(t)}​

通过低通滤波器得到低频信号(同相支路)：
$$s_I(t)=a_s(t)\cos {\phi }_{s}t$$

• 正交支路：

s ( t ) ⋅ [ − 2 sin ⁡ ( ω 0 t ) ] = − 2 a s ( t ) cos ⁡ [ ω 0 t + φ s ( t ) ] sin ⁡ ( ω 0 t ) = − 2 a s ( t ) [ cos ⁡ ω 0 t cos ⁡ φ s ( t ) − sin ⁡ ω 0 t sin ⁡ φ s ( t ) ] sin ⁡ ( ω 0 t ) = − 2 a s ( t ) { − 1 2 [ 1 − cos ⁡ ( 2 ω 0 t ) ] sin ⁡ φ s ( t ) + 1 2 sin ⁡ 2 ω 0 t cos ⁡ φ s ( t ) } \begin{aligned} s(t)\cdot[-2\sin (\omega_0t)] &=-2a_s(t)\cos [\omega_0t+\varphi _s(t)]\sin(\omega_0t)\\ &=-2a_s(t)[\cos \omega_0t\cos\varphi_s(t)-\sin\omega_0t\sin\varphi _s(t)]\sin(\omega_0t)\\ &=-2a_s(t)\{-\frac{1}{2} [1-\cos(2\omega_0t)]\sin\varphi_s(t)+\frac{1}{2}\sin2\omega_0t\cos\varphi_s(t)\} \end{aligned} s(t)⋅[−2sin(ω0​t)]​=−2as​(t)cos[ω0​t+φs​(t)]sin(ω0​t)=−2as​(t)[cosω0​tcosφs​(t)−sinω0​tsinφs​(t)]sin(ω0​t)=−2as​(t){−21​[1−cos(2ω0​t)]sinφs​(t)+21​sin2ω0​tcosφs​(t)}​

通过低通滤波器后得到低频信号（正交支路）：
$$s_Q(t)=a_s(t)\sin {\phi }_{s}t$$

两路正交输出的信号可以用复数表示：
$$\tilde{s}=s_I(t)+j{s}_Q(t)$$
输出的低频信号既保留了信号的幅度信息又保留了信号的相位信息。即：
$$a_s(t)=\sqrt{s_I^2(t)+s_Q^2(t)}$$

$${\phi }_s(t)=\arctan \frac{s_Q(t)}{s_I(t)}$$

2.希尔伯特变换

2.1实信号的复数表示

2.1.1复函数表示实信号的可能性

为得到实信号的唯一复数表示方法，从实信号的频谱特点开始研究。

实信号频谱是复共轭对称的，实信号满足$s(t)=s^{\ast }(t)$。实信号的傅里叶变换频谱：
$$S(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }s(t)e^{-j\omega t}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^{\ast }(t)e^{-j\omega t}dt=S^{\ast }(-\omega )$$
其中，$S^{\ast }$是$s(t)$的傅里叶变换，有如下关系：
$$|S(\omega )|=|S^{\ast }(-\omega )|$$

$$\arg S(\omega )=\arg S^{\ast }(-\omega )=-\arg S(-\omega )$$

实信号的频谱幅度谱是偶对称的，相位谱是奇对称的。实信号的频谱是复共轭对称的。正是由于其频谱的复共轭对称性，其负半周的频谱，可以由正半轴的频谱唯一决定。因此，只要知道信号的正半轴（或负半轴）频谱，就可以恢复出原实信号$s(t)$：
$$\begin{array}{rl}s(t)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }S(\omega )e^{j\omega t}d\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{0}S(\omega )e^{j\omega t}d\omega +\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{\infty }S(\omega )e^{j\omega t}d\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^0{S}^{\ast }(-\omega )e^{j\omega t}d\omega +\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{\infty }S(\omega )e^{j\omega t}d\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{\infty }{S}^{\ast }(\omega )e^{-j\omega t}d\omega +\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{\infty }S(\omega )e^{j\omega t}d\omega ★\\ & =Re[\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{\infty }2S(\omega )e^{j\omega t}d\omega ]★\\ & =Re[\tilde{s}(t)]\end{array}$$

注:推导式中带“$★$”的两行，利用了复数运算重要的性质：

1. 复数乘积取共轭等于复数取共轭后的乘积;
2. 复数取共轭实部不变。

由此可知，$\tilde{s}(t)$与$2S(\omega )（\omega >0）$是互为傅里叶变换。$\tilde{s}(t)$是复函数，且对于$s(t)$是唯一的，其实部就是$s(t)$。

2.1.2复函数表示实信号的必要性

由于无线电信号通常是窄带信号，其表达式：$s(t)=A(t)\cos [{\omega }_{0}t+\phi (t)]$。而$A(t)、\phi (t)$，相较于载频来说属于慢变化的低频信号，因此窄带信号通常又可以表示为：
$$s(t)=\frac{1}{2}\tilde{A}(t)e^{j{\omega }_{0}t}+\frac{1}{2}\widetilde{A^{\ast }}(t)e^{-j{\omega }_{0}t}$$
其中，$\tilde{A}(t)=A(t)e^{-j\phi (t)}$，信号的复包络；$\widetilde{A^{\ast }}(t)$,是对$\tilde{A}(t)$取共轭。

假设$\tilde{A}(t)$与$\tilde{A}(\omega )$，是傅里叶变换对。即：$\tilde{A}(t)$ $\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }$ $\tilde{A}(\omega )$。则：
$$S(\omega )=\frac{1}{2}[\tilde{A}(\omega -{\omega }_0)+\widetilde{A^{\ast }}(-\omega -{\omega }_0)]$$

2.1.3解析信号及Hilbert变换

将实信号$s(t)$变为复信号$\tilde{s}(t)$后，得到$S(\omega )$，$\tilde{S}(\omega )$的关系如下：
$$\tilde{S}(\omega )=\{\begin{array}{rclc}& 2S(\omega )& ,& \omega >0\\ & 0& ,& \omega <0\end{array}$$

• 具有单边频谱（正频率）的复信号成为解析信号。

实信号的解析信号具有上式所示的单边频谱特性。解析信号$\tilde{s}(t)=s(t)+j\hat{s}(t)$，$\hat{s}(t)$表示虚部。

1. 实信号的频谱满足：

$$s(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }\{\begin{array}{rclc}& S(\omega )& ,& \omega >0\\ & S(\omega )& ,& \omega <0\end{array}$$

2. 虚部$j\hat{s}(t)$的频谱$j\hat{S}(\omega )$是$\omega$的奇函数：

$$j\hat{s}(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }j\hat{S}(\omega )=\{\begin{array}{rclc}& S(\omega )& ,& \omega >0\\ & -S(\omega )& ,& \omega <0\end{array}$$

上式可改写为：
$$j\hat{S}(\omega )=S(\omega )sgn(\omega )$$
其中，
$$sgn(\omega )=\{\begin{array}{rclc}& 1& ,& \omega >0\\ & 0& ,& \omega =0\\ & -1& ,& \omega <0\end{array}$$
进而式 11 可改写为：
$$\begin{array}{rl}\tilde{S}(\omega )& =S(\omega )+j\hat{S}(\omega )\\ & =S(\omega )+S(\omega )sgn(\omega )\\ & =S(\omega )[1+sgn(\omega )]\\ & =2S(\omega )U(\omega )\end{array}$$

其中，
$$\begin{array}{rl}U(\omega )& =\frac{1}{2}[1+sgn(\omega )]\\ & =\{\begin{array}{rclc}& 1& ,& \omega >0\\ & \frac{1}{2}& ,& \omega =0\\ & 0& ,& \omega <0\end{array}\end{array}$$
希尔伯特正变换：
$$\hat{s}(t)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{s(\tau )}{t-\tau }d\tau$$
希尔伯特反变换：
$$s(t)=-\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\hat{s}(\tau )}{t-\tau }d\tau$$

• 希尔伯特变换性质：

  

由$s(t)$求解$\hat{s}(t)$的过程实际上是，$s(t)$经过冲激响应$h(t)=1/\pi t$的线性网络后的输出$\hat{s}(t)$。该线性网络的传输函数：
$$\begin{array}{rl}H(\omega )& ={\int }_{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-j\omega t}dt\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\pi t}{e}^{-j\omega t}dt\\ & =\{\begin{array}{rclc}& j& ,& \omega <0\\ & -j& ,& \omega >0\end{array}\end{array}$$
也即，$H(\omega )=jsgn(\omega )$。

3.复信号在工程应用中的意义

实际上，严格意义上的复信号在工程中是不存在的，都是实信号，但是可以利用希尔伯特变换构造出复信号。即，正交双通道。这样做的主要目的（意义）有：

1. 雷达应用中，解决盲相问题

对接收机的中频信号进行采样时，如果不采用正交双通道，往往会出现采样点全为零的情况（下图中三角形表示采样时刻）：

这种情况下就出现采样电平全为0的情况，造成盲相。如果采用正交双通道就不会出现这种情况，两个通道的采样电平不会出现采样电平同时为零的情况。

2. 信噪比增益多了3dB

由于两路信号的平均功率相等，因此总功率变为原来的2倍，信号处理过程中的信噪比增益会增加3dB。即：
$$10\lg 2=3dB$$