1 题目

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。
示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

2 解析

状态：当前i为根节点，n个不同的数组成的二叉搜索数的个数，表示为dp[i]
假设 i = 5

• 当根节点等于 1 时 ，其余数字都比1大，只能在右边 dp[1] += dp[4]
• 当根节点等于 2 时，左边有一个1比2小，右边有三个比2大的数字 dp[2] += dp[1] * dp[3]
• 当根节点等于 3 时，左边有两个数比3小，右边有两个数比3大的数字 dp[3] += dp[2] * dp[2]
• 知道根节点等于5，左边有4个数字比5小，只能放在5的左边,dp[5] += dp[4]

推理出，状态转移方程，当有n个节点数，每个节点i的状态为
$$dp[i]=dp[i-1]\ast dp[n-i]$$
$$dp[0]=1,d[1]=1$$

3 python实现

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        dp = [0]*(n+1)
        dp[0] = 1
        dp[1] = 1
        for i in range(2,n+1):
            for j in range(i+1):
                dp[i] +=dp[j-1]*dp[i-j]
        return dp[n]