【随机过程】作业 4 矩量母函数

矩量母函数相关知识

1. 计算参数为n，p的二项分布的矩量母函数，若n=3,p=1/3,则二项分布的矩量母函数在1处的值为多少？
解：
根据以上表知，二项分布的矩量母函数为$M(t)=(p{e}^t+1-p{)}^n$
带入n=3,p=1/3,t=1
所以$M(1)=(1/3e+1-1/3{)}^3=1/27(e+2{)}^3$
2. 正态分布N（1,4）的矩量母函数在1处的值为多少？
根据以上表知，正态分布的矩量母函数为$M(t)=e^{ut+{\sigma }^2{t}^2/2}$
带入$u=1,{\sigma }^2=4,t=1$
所以$M(1)=e^{1+4/2}=e^3$
3. 利用标准正太分布x~N(0,1)的矩量母函数，计算得$E(X^6)$

由资料可知，$E{X}^n$结果为矩母函数求n阶导后，代入t=0
根据以上表知道标准正态分布的矩母函数为
$$M(t)=e^{t^2/2}$$
对M(t)求6次导数，代入t=0
求导过程省略
得到$E{X}^6=M(t=0{)}^{(6)}=15$