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【OpenCV 例程200篇】71. 连续函数的取样

Opencv 200 例程 71
2023-09-14 09:12:50 时间

【OpenCV 例程200篇】71. 连续函数的取样

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1.2 连续函数的取样

连续函数必须经过取样和量化转换为离散函数，才能用计算机进行处理。

考虑一个连续函数 f ( t ) f(t) f(t)，以自变量 t 的均匀间隔 Δ T \Delta T ΔT 对函数取样，取样序列中的任意取样值为：

f k = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t − k Δ T ) d t = f ( k Δ T ) f_k = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta (t-k \Delta T) dt = f(k \Delta T) fk​=∫−∞+∞​f(t)δ(t−kΔT)dt=f(kΔT)

取样后的函数的傅里叶变换为：

F ~ ( μ ) = ( F ⋆ S ) ( μ ) = ∫ − ∞ + ∞ F ( τ ) S ( μ − τ ) d τ = 1 Δ T ∑ n = − ∞ ∞ F ( μ − n Δ T ) \begin{aligned} \tilde{F}(\mu) &= (F \star S) (\mu) \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} F(\tau) S(\mu-\tau) d \tau\\ &= \frac{1}{\Delta T} \sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\mu-\frac{n}{\Delta T}) \end{aligned} F~(μ)​=(F⋆S)(μ)=∫−∞+∞​F(τ)S(μ−τ)dτ=ΔT1​n=−∞∑∞​F(μ−ΔTn​)​

香农（Shannon）取样定理指出，对于一个连续信号，用大于信号最高频率 2倍的取样率来取样，则不会丢失信号的有效信息。
或者说，以 1 / Δ T 1/\Delta T 1/ΔT 的取样率对信号取样点的的最大频率是 μ m a x = 1 / 2 Δ T \mu_{max}=1/2\Delta T μmax​=1/2ΔT 。


例程 8.4：连续函数的取样

    # 8.4：连续函数的取样

    # 定义函数，用于计算所有基矢的频率
    def gen_freq(N, fs):
        k = np.arange(0, np.floor(N/2) + 1, 1)
        return (k * fs) / N

    T = 100
    # 定义多个不同频率的基频信号
    fk = [2/T, 5/T, 12/T]  # 频率
    A = [7, 3, 2]  # 振幅
    phi = [np.pi, 2, 2*np.pi]  # 初始相位

    n = np.arange(T)
    s0 = A[0] * np.sin(2 * np.pi * fk[0] * n + phi[0])
    s1 = A[1] * np.sin(2 * np.pi * fk[1] * n + phi[1])
    s2 = A[2] * np.sin(2 * np.pi * fk[2] * n + phi[2])
    s = s0 + s1 + s2  # 叠加生成混合信号
    g = np.fft.rfft(s)  # 傅里叶变换

    plt.figure(figsize=(8, 6))
    plt.subplot(311)
    plt.plot(n, s0, n, s1, n, s2, ':', marker='+', alpha=0.5)
    plt.plot(n, s, 'r-', lw=2)
    plt.title("Sampling of continuous functions")

    plt.subplot(312)
    fs = 1  # 采样间隔为 1
    freq = gen_freq(T, fs=fs)  # 计算频率序列
    ck = np.abs(g) / T  # 计算振幅
    plt.plot(freq, ck, '.')  # 频率-振幅图
    for f in fk:
        ck0 = round(ck[np.where(freq==f*fs)][0], 1)
        plt.annotate('$({},{})$'.format(f*fs, ck0), xy=(f*fs, ck0), xytext=(5, -10), textcoords='offset points')

    plt.subplot(313)
    fs = 10  # 采样间隔为 10
    freq = gen_freq(T, fs=fs)  # 计算频率序列
    ck = np.abs(g) / T  # 计算振幅
    plt.plot(freq, ck, '.')  # 频率-振幅图
    for f in fk:
        ck0 = round(ck[np.where(freq==f*fs)][0], 1)
        plt.annotate('$({},{})$'.format(f*fs, ck0), xy=(f*fs, ck0), xytext=(5, -10), textcoords='offset points')

    plt.show()

在这里插入图片描述



（本节完）

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