1 题目

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。
示例 1：

输入：s = “babad”
输出：“bab”
解释：“aba” 同样是符合题意的答案。

示例 2：

输入：s = “cbbd”
输出：“bb”

2 解析

动态规划思路
状态： 用 dp(i,j)表示字符串 s的第 i到 j个字母组成的串（下文表示成 s[i:j]）是否为回文串：

$$dp(i,j)=\{\begin{array}{ll}\text{true,}& \text{如果子串 }{S}_i\dots S_j\text{ 是回文串}\\ \text{false,}& \text{其它情况}\end{array}$$

这里的「其它情况」包含两种可能性：
s[i, j] 本身不是一个回文串；i > j，此时 s[i, j]本身不合法。

状态转移方程：

$$dp(i,j)=dp(i+1,j-1)\wedge (S_i==S_j)$$

也就是说，只有 s[i+1:j-1]是回文串，并且 s 的第 i 和 j个字母相同时，s[i:j]才会是回文串。
上文的所有讨论是建立在子串长度大于 2 的前提之上的，我们还需要考虑动态规划中的边界条件，即子串的长度为 1 或 2。对于长度为 1 的子串，它显然是个回文串；对于长度为 2的子串，只要它的两个字母相同，它就是一个回文串。因此我们就可以写出动态规划的边界条件：

$$\{\begin{array}{l}dp(i,i)=\text{true}\\ dp(i,i+1)=(S_i==S_{i+1})\end{array}$$

根据这个思路，我们就可以完成动态规划了，最终的答案即为所有dp(i,j)=true 中j−i+1（即子串长度）的最大值。注意：在状态转移方程中，我们是从长度较短的字符串向长度较长的字符串进行转移的，因此一定要注意动态规划的循环顺序。

3 python实现

class Solution:
    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        n = len(s)
        if n<2:
            return s
        max_len = 1
        begin = 0
        dp = [[False]*n for _ in range(n)]
        for i in range(n):
            dp[i][i] =True
        for L in range(2,n+1):
            for i in range(n):
                j = L+i-1
                if j>=n:
                    break
                if s[i] !=s[j]:
                    dp[i][j] =False
                else:
                    if j-i<3:
                        dp[i][j] =True
                    else:
                        dp[i][j] = dp[i+1][j-1]
                if dp[i][j] and j-i+1>max_len:
                    max_len = j-i+1
                    begin = i 
        return s[begin:begin+max_len]