1 题目

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

2 解析

状态：金额
转移：一个硬币，这个硬币的金额在coins[]数组中遍历
dp函数：输入金额，返回当前金额，在不同硬币下的组合数量

第一轮，我们计算以x1为基本数的组合数。
第二轮，我们计算x2为基本数的组合数。并将x2加到x1上，得到x1 + x2。
第三轮，我们计算x3为基本数的组合数。并将x2加到x1 + x2上，得到x1 + x2 + x2。

对amount为5而言
x1 有 {1, 1, 1, 1, 1}
x2 有 {1, 1, 1, 2}, {1, 2, 2}
x3 有 {1, 1, 3}, {2, 3}
最终返回x1 + x2 + x3。

由此可以得到动态规划的做法：

初始化 dp[0]=1；
遍历 coins，对于其中的每个元素 coin，进行如下操作：
遍历 i 从 coin 到 amount，将 dp[i−coin] 的值加到 dp[i]
最终得到 dp[amount] 的值即为答案。

上述做法不会重复计算不同的排列。因为外层循环是遍历数组
coins 的值，内层循环是遍历不同的金额之和，在计算 dp[i] 的值时，可以确保金额之和等于 i 的硬币面额的顺序，由于顺序确定，因此不会重复计算不同的排列

3 Python实现

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        dp = [0]*(amount+1)
        dp[0] = 1
        for coin in coins:
            for i in range(coin,amount+1):
                dp[i] += dp[i-coin]
        return dp[amount]