高速幂取余
求a^b mod c
算法1.
首先直接地来设计这个算法:
int ans=1, i; for(i=1;i<=b;i++) ans*=a; ans%=c;
这个算法的时间复杂度体如今for循环中,为O(b).
这个算法存在着明显的问题,假设a和b过大,非常easy就会溢出。
那么,我们先来看看第一个改进方案:在讲这个方法之前,要先有这样一个公式:
a^b mod c=(a mod c)^b
引理:
(a *b) mod c =[ ( a mod c )* (b mod c) ] mod c ;
证明: 设 a mod c =d,b mod c= e;
则:a=t*c + d ; b=k*c + e ;
(a*b)mod c = (t*c+d)(t*c+e)
= (tk c^2 + ( te+dk ) *c + d*e) mod c
=de mod c
即积的取余等于取余的积的取余.
(a ^ b)mod c 由上述公式迭代就可以得到 ( a mod c)^b.
证明了以上的公式以后,我们能够先让a关于c取余,这样能够大大降低a的大小,于是不用思考的进行了改进:
算法2:
int ans = 1 , i ; a = a % c; //加上这一句 for ( i = 1;i<=b;i++) ans = ans * a; ans = ans % c;
既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变,那么新算得的ans也能够进行取余,所以得到比較良好的改进版本号。
算法3:
int ans = 1 ,i ; a = a % c; for(int i = 1;i<=b;i++) ans = (ans * a) % c; //这里再取了一次余 ans = ans % c;
这个算法在时间复杂度上没有改进,仍为O(b),只是已经好非常多的,可是在c过大的条件下,还是非常有可能超时,所以,我们推出下面的高速幂算法。
高速幂取余依赖于下面公式:
那么我们能够得到下面算法:
算法4:
int ans = 1 ,i ; a = a % c; if (b%2==1) ans = (ans * a) mod c; //假设是奇数,要多求一步, 能够提前算到 ans 中。 k = (a*a) % c; //我们取a^2 而不是a for( i = 1;i<=b/2;i++) ans = (ans * k) % c; ans = ans % c;
我们能够看到,我们把时间复杂度变成了O(b/2).
当然,这样子治标不治本。
但我们能够看到,当我们令k = (a * a) mod c时,状态已经发生了变化,我们所要求的终于结果即为 k^(b/2) mod c
而不是原来的a^b mod c,所以我们发现这个过程是能够迭代下去的。当然,对于奇数的情形会多出一项a mod c,所以为了完毕迭代,当b是奇数时,我们通过 ans = (ans * a) % c;
来弥补多出来的这一项,此时剩余的部分就能够进行迭代了。
形如上式的迭代下去后,当b=0时,全部的因子都已经相乘,算法结束。
于是便能够在O(log b)的时间内完毕了。
于是,有了终于的算法:高速幂算法。
算法5:高速幂算法
int ans = 1; a = a % c; while(b>0) { if(b % 2 == 1) ans = (ans * a) % c; b = b/2; a = (a * a) % c; }
将上述的代码结构化,也就是写成函数:
long long PowerMod (int a, int b, int c) { int ans = 1; a = a % c; while(b>0) { if(b % 2 = = 1) ans = (ans * a) % c; b = b/2; // b>>=1; a = (a * a) % c; } return ans; }
本算法的时间复杂度为O(logb),能在差点儿全部的程序设计(竞赛)过程中通过,是眼下最经常使用的算法之中的一个。
下面内容仅供參考:
扩展:有关于高速幂的算法的推导,还能够从还有一个角度来想。
a^b%c 求解这个问题,我们也能够从二进制转换来考虑:
将10进制的b转化成2
进制的表达式:
注意此处的an要么为0,要么为1,假设为0,那么这一项就是1,这个相应了上面算法过程中b是偶数的情况;
为1相应了b是奇数的情况.