一、求 a^nu(n) 傅里叶变换

求 $a^{n}u(n)$ 的傅里叶变换 $SFT[a^{n}u(n)]$ ?

其中 $|a|\le 1$ ;

1、傅里叶变换与反变换公式介绍

傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;

$$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega$$

2、求 a^nu(n) 的傅里叶变换推导过程

将

$$a^{n}u(n)$$

序列 , 直接带入到

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

傅里叶变换公式中 , 可得到 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=0}^{+\infty }{a}^n{e}^{-j\omega n}$$

根据 " 等比级数求和 " 公式 , 可以得到

$$X(e^{j\omega })=\frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }}$$