前面一篇文章说过，把向量范数的计算方法用在矩阵上，不能用相同的名字。那什么样的矩阵范数才能用向量范数相同的名字呢？答案就是诱导范数induced norm或自然范数Natural Norm。诱导范数不是把向量范数的计算方法直接用在矩阵上，它的计算方法比较另类。是这样定义的，已知一个向量范数$\parallel x{\parallel }_{\alpha }$,它诱导的矩阵范数为：
$$\parallel A{\parallel }_{\alpha }=\max (\frac{\parallel Ax{\parallel }_{\alpha }}{\parallel x{\parallel }_{\alpha }}),x\ne 0$$
  也即是说遍历所有非零向量，让矩阵乘以这个向量得到的向量的范数，再除于向量的范数。然后在这些商里找最大值。那什么是算子范数呢？公式和诱导范数差不多。算子范数operator norm，是两个向量范数诱导出的矩阵范数，定义如下：
$$\parallel A{\parallel }_{(\alpha ,\beta )}=\max (\frac{\parallel Ax{\parallel }_{\alpha }}{\parallel x{\parallel }_{\beta }}),x\ne 0$$
  也就是说，诱导范数是算子范数$\alpha =\beta$的特殊场景。
  但是这个定义，太难计算了吧，遍历所有向量再求最大值，计算量是无穷的。不过对于常见的诱导范数，前人总结出了计算方法。

1-范数

  1-范数的计算就是求最大列和，所以也叫列范数，或列和范数。计算公式：
$$\parallel A{\parallel }_1=\underset{1\le j\le n}{\max }\sum _{i=0}^m|a_{ij}|$$
  Python代码：

    def one_norm(self):
        array = [[abs(e) for e in vector] for vector in self.__vectors]
        sum_array = [sum(vector) for vector in array]
        return max(sum_array)

  要注意是模长的和，对于实数是绝对值。

2-范数

  2-范数，也叫谱范数，它的计算方法，前人也总结了。公式如下：
$$\parallel A{\parallel }_2=\sqrt{{\lambda }_{max}(A^{H}A)}={\sigma }_1$$
  就是$A^{H}A$的最大特征值开根号。也就是A的最大奇异值${\sigma }_1$，所以也等于樊畿1-范数。Python代码：

    # 2-范数
    def two_norm(self):
        return math.sqrt(max(self.sigular_values()))
    
    # 暂时用海森堡法求奇异值
    def sigular_values(self):
        m = Matrix(self.transpose()) * self
        # 用海森堡法计算
        from com.youngthing.mathalgorithm.linearalgebra.hessenberg import Matrix as M
        return [math.sqrt(e) for e in M(m.__vectors).eigen_values()]

  我这里直接导入了我之前写的海森堡算法代码求特征值。

无穷范数

  无穷范数也叫行范数，或行和范数，计算方法如下：
$$\parallel A{\parallel }_1=\underset{1\le i\le m}{\max }\sum _{j=0}^n|a_{ij}|$$
  Python代码：

    # 无穷范数
    def infinite_norm(self):
        return Matrix(self.transpose()).one_norm()

  在这里我为了复用代码，直接转置一下求1-范数，就等于无穷范数了。
  至于p不为1和2的向量p-范数的诱导范数，是非常难求的，而且实际应用较少，所以很少有人研究。