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高等数学（第七版）同济大学 习题1-5 个人解答

个人 习题 解答 高等数学 同济大学 第七版
2023-09-14 09:06:59 时间

高等数学（第七版）同济大学 习题1-5

 

1.   计 算 下 列 极 限 ： \begin{aligned}&1. \ 计算下列极限：&\end{aligned} ​1. 计算下列极限：​​

   ( 1 )    lim ⁡ x → 2 x 2 + 5 x − 3 ；                                        ( 2 )    lim ⁡ x → 3 x 2 − 3 x 2 + 1 ；    ( 3 )    lim ⁡ x → 1 x 2 − 2 x + 1 x 2 − 1 ；                               ( 4 )    lim ⁡ x → 0 4 x 3 − 2 x 2 + x 3 x 2 + 2 x ；    ( 5 )    lim ⁡ h → 0 ( x + h ) 2 − x 2 h ；                            ( 6 )    lim ⁡ x → ∞ ( 2 − 1 x + 1 x 2 ) ；    ( 7 )    lim ⁡ x → ∞ x 2 − 1 2 x 2 − x − 1 ；                              ( 8 )    lim ⁡ x → ∞ x 2 + x x 4 − 3 x 2 + 1 ；    ( 9 )    lim ⁡ x → 4 x 2 − 6 x + 8 x 2 − 5 x + 4 ；                                ( 10 )    lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) ( 2 − 1 x 2 ) ；    ( 11 )    lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 2 n ) ；      ( 12 )    lim ⁡ n → ∞ 1 + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( n − 1 ) n 2 ；    ( 13 )    lim ⁡ n → ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) 5 n 3 ；            ( 14 )    lim ⁡ x → 1 ( 1 1 − x − 3 1 − x 3 ) 。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2+5}{x-3}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \lim_{x \rightarrow \sqrt{3}}\frac{x^2-3}{x^2+1}；\\\\ &\ \ (3)\ \ \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{4x^3-2x^2+x}{3x^2+2x}；\\\\ &\ \ (5)\ \ \lim_{h \rightarrow 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\ \ \lim_{x \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)；\\\\ &\ \ (7)\ \ \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8)\ \ \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2+x}{x^4-3x^2+1}；\\\\ &\ \ (9)\ \ \lim_{x \rightarrow 4}\frac{x^2-6x+8}{x^2-5x+4}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10)\ \ \lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(2-\frac{1}{x^2}\right)；\\\\ &\ \ (11)\ \ \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{2^n}\right)；\ \ \ \ (12)\ \ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1+2+3+\cdot\cdot\cdot+(n-1)}{n^2}；\\\\ &\ \ (13)\ \ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5n^3}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (14)\ \ \lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)。 & \end{aligned} ​  (1)  x→2lim​x−3x2+5​；                                      (2)  x→3 ​lim​x2+1x2−3​；  (3)  x→1lim​x2−1x2−2x+1​；                             (4)  x→0lim​3x2+2x4x3−2x2+x​；  (5)  h→0lim​h(x+h)2−x2​；                          (6)  x→∞lim​(2−x1​+x21​)；  (7)  x→∞lim​2x2−x−1x2−1​；                            (8)  x→∞lim​x4−3x2+1x2+x​；  (9)  x→4lim​x2−5x+4x2−6x+8​；                              (10)  x→∞lim​(1+x1​)(2−x21​)；  (11)  n→∞lim​(1+21​+41​+⋅⋅⋅+2n1​)；    (12)  n→∞lim​n21+2+3+⋅⋅⋅+(n−1)​；  (13)  n→∞lim​5n3(n+1)(n+2)(n+3)​；          (14)  x→1lim​(1−x1​−1−x33​)。​​

解：

   ( 1 )   lim ⁡ x → 2 x 2 + 5 x − 3 = lim ⁡ x → 2 ( x 2 + 5 ) lim ⁡ x → 2 ( x − 3 ) = ( lim ⁡ x → 2 x ) 2 + lim ⁡ x → 2 5 lim ⁡ x → 2 x − lim ⁡ x → 2 3 = 4 + 5 2 − 3 = − 9    ( 2 )    lim ⁡ x → 3 x 2 − 3 x 2 + 1 = lim ⁡ x → 3 ( x 2 − 3 ) lim ⁡ x → 3 ( x 2 + 1 ) = ( lim ⁡ x → 3 x ) 2 − lim ⁡ x → 3 3 ( lim ⁡ x → 3 x ) 2 + lim ⁡ x → 3 1 = 3 − 3 3 + 1 = 0    ( 3 )    因 为 分 母 当 x → 1 时 ， 为 0 ， 所 以 进 行 变 换 ，           lim ⁡ x → 1 x 2 − 2 x + 1 x 2 − 1 = lim ⁡ x → 1 x − 1 x + 1 = lim ⁡ x → 1 x − lim ⁡ x → 1 1 lim ⁡ x → 1 x + lim ⁡ x → 1 1 = 1 − 1 1 + 1 = 0    ( 4 )    因 为 分 母 当 x → 1 时 ， 为 0 ， 所 以 进 行 变 换 ，           lim ⁡ x → 0 4 x 3 − 2 x 2 + x 3 x 2 + 2 x = lim ⁡ x → 0 4 x 2 − 2 x + 1 3 x + 2 = 4 ( lim ⁡ x → 0 x ) 2 − 2 lim ⁡ x → 0 x + lim ⁡ x → 0 1 3 lim ⁡ x → 0 x + lim ⁡ x → 0 2 = 0 − 0 + 1 0 + 2 = 1 2    ( 5 )    因 为 分 母 当 x → 1 时 ， 为 0 ， 所 以 进 行 变 换 ，           lim ⁡ h → 0 ( x + h ) 2 − x 2 h = lim ⁡ h → 0 x 2 + 2 h x + h 2 − x 2 h = lim ⁡ h → 0 ( 2 x + h ) = 2 x    ( 6 )    lim ⁡ x → ∞ ( 2 − 1 x + 1 x 2 ) = lim ⁡ x → ∞ 2 − lim ⁡ x → ∞ 1 x + lim ⁡ x → ∞ 1 x 2 = 2 − 0 + 0 = 2    ( 7 )    lim ⁡ x → ∞ x 2 − 1 2 x 2 − x − 1 = lim ⁡ x → ∞ ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( 2 x + 1 ) ( x − 1 ) = lim ⁡ x → ∞ 1 + 1 x 2 + 1 x = lim ⁡ x → ∞ 1 + lim ⁡ x → ∞ 1 x lim ⁡ x → ∞ 2 + lim ⁡ x → ∞ 1 x = 1 + 0 2 + 0 = 1 2    ( 8 )    lim ⁡ x → ∞ x 2 + x x 4 − 3 x 2 + 1 = lim ⁡ x → ∞ 1 x 2 + 1 x 3 1 − 3 x 2 + 1 x 4 = lim ⁡ x → ∞ 1 x 2 + lim ⁡ x → ∞ 1 x 3 lim ⁡ x → ∞ 1 − lim ⁡ x → ∞ 3 x 2 + lim ⁡ x → ∞ 1 x 4 = 0 + 0 1 − 0 + 0 = 0    ( 9 )    lim ⁡ x → 4 x 2 − 6 x + 8 x 2 − 5 x + 4 = lim ⁡ x → 4 ( x − 2 ) ( x − 4 ) ( x − 1 ) ( x − 4 ) = lim ⁡ x → 4 x − 2 x − 1 = lim ⁡ x → 4 x − lim ⁡ x → 4 2 lim ⁡ x → 4 x − lim ⁡ x → 4 1 = 4 − 2 4 − 1 = 2 3    ( 10 )    lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) ( 2 − 1 x 2 ) = lim ⁡ x → ∞ ( 2 − 1 x 2 + 2 x − 1 x 3 ) = 2 − 0 + 0 − 0 = 2    ( 11 )    lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 2 n ) = lim ⁡ n → ∞ 1 − 1 2 n + 1 1 − 1 2 = lim ⁡ n → ∞ 2 ( 1 − 1 2 n + 1 ) = 2 ( 1 − lim ⁡ n → ∞ 1 2 n + 1 ) = 2    ( 12 )    lim ⁡ n → ∞ 1 + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( n − 1 ) n 2 = lim ⁡ n → ∞ n ( n − 1 ) 2 n 2 = lim ⁡ n → ∞ 1 2 ( 1 − 1 n ) = 1 2    ( 13 )    lim ⁡ n → ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) 5 n 3 = lim ⁡ n → ∞ 1 5 ( 1 + 1 n ) ( 1 + 2 n ) ( 1 + 3 n ) =              1 5 lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 2 n ) lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 3 n ) = 1 5    ( 14 )    lim ⁡ x → 1 ( 1 1 − x − 3 1 − x 3 ) = lim ⁡ x → 1 1 + x + x 2 − 3 1 − x 3 = lim ⁡ x → 1 ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( 1 − x ) ( 1 + x + x 2 ) =             lim ⁡ x → 1 − ( x + 2 ) 1 + x + x 2 = − lim ⁡ x → 1 ( x + 2 ) lim ⁡ x → 1 ( 1 + x + x 2 ) = − 3 3 = − 1 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2+5}{x-3}=\frac{\lim_{x \rightarrow 2}{(x^2+5)}}{\lim_{x \rightarrow 2}{(x-3)}}=\frac{(\lim_{x \rightarrow 2}x)^2+\lim_{x \rightarrow 2}5}{\lim_{x \rightarrow 2}x-\lim_{x \rightarrow 2}3}=\frac{4+5}{2-3}=-9\\\\ &\ \ (2)\ \ \lim_{x \rightarrow \sqrt{3}}\frac{x^2-3}{x^2+1}=\frac{\lim_{x \rightarrow \sqrt{3}}(x^2-3)}{\lim_{x \rightarrow \sqrt{3}}(x^2+1)}=\frac{(\lim_{x \rightarrow \sqrt{3}}x)^2-\lim_{x \rightarrow \sqrt{3}}3}{(\lim_{x \rightarrow \sqrt{3}}x)^2+\lim_{x \rightarrow \sqrt{3}}1}=\frac{3-3}{3+1}=0\\\\ &\ \ (3)\ \ 因为分母当x \rightarrow 1时，为0，所以进行变换，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}=\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x-1}{x+1}=\frac{\lim_{x \rightarrow 1}x-\lim_{x \rightarrow 1}1}{\lim_{x \rightarrow 1}x+\lim_{x \rightarrow 1}1}=\frac{1-1}{1+1}=0\\\\ &\ \ (4)\ \ 因为分母当x \rightarrow 1时，为0，所以进行变换，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{4x^3-2x^2+x}{3x^2+2x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{4x^2-2x+1}{3x+2}=\frac{4(\lim_{x \rightarrow 0}x)^2-2\lim_{x \rightarrow 0}x+\lim_{x \rightarrow 0}1}{3\lim_{x \rightarrow 0}x+\lim_{x \rightarrow 0}2}=\frac{0-0+1}{0+2}=\frac{1}{2}\\\\ &\ \ (5)\ \ 因为分母当x \rightarrow 1时，为0，所以进行变换，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{h \rightarrow 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}(2x+h)=2x\\\\ &\ \ (6)\ \ \lim_{x \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)=\lim_{x \rightarrow \infty}2-\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x}+\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x^2}=2-0+0=2\\\\ &\ \ (7)\ \ \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{(x+1)(x-1)}{(2x+1)(x-1)}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{2+\frac{1}{x}}=\frac{\lim_{x \rightarrow \infty}1+\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x}}{\lim_{x \rightarrow \infty}2+\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x}}=\frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}\\\\ &\ \ (8)\ \ \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2+x}{x^4-3x^2+1}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{1-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^4}}=\frac{\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x^2}+\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x^3}}{\lim_{x \rightarrow \infty}1-\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3}{x^2}+\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x^4}}=\frac{0+0}{1-0+0}=0\\\\ &\ \ (9)\ \ \lim_{x \rightarrow 4}\frac{x^2-6x+8}{x^2-5x+4}=\lim_{x \rightarrow 4}\frac{(x-2)(x-4)}{(x-1)(x-4)}=\lim_{x \rightarrow 4}\frac{x-2}{x-1}=\frac{\lim_{x \rightarrow 4}x-\lim_{x \rightarrow 4}2}{\lim_{x \rightarrow 4}x-\lim_{x \rightarrow 4}1}=\frac{4-2}{4-1}=\frac{2}{3}\\\\ &\ \ (10)\ \ \lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(2-\frac{1}{x^2}\right)=\lim_{x \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^3}\right)=2-0+0-0=2\\\\ &\ \ (11)\ \ \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{2^n}\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}=\lim_{n \rightarrow \infty}2\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)=2\left(1-\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{2^{n+1}}\right)=2\\\\ &\ \ (12)\ \ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1+2+3+\cdot\cdot\cdot+(n-1)}{n^2}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n(n-1)}{2n^2}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2}\\\\ &\ \ (13)\ \ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5n^3}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{5}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{3}{n}\right)=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{5}\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)=\frac{1}{5}\\\\ &\ \ (14)\ \ \lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)=\lim_{x \rightarrow 1}\frac{1+x+x^2-3}{1-x^3}=\lim_{x \rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)}=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{x \rightarrow 1}\frac{-(x+2)}{1+x+x^2}=-\frac{\lim_{x \rightarrow 1}(x+2)}{\lim_{x \rightarrow 1}(1+x+x^2)}=-\frac{3}{3}=-1 & \end{aligned} ​  (1) x→2lim​x−3x2+5​=limx→2​(x−3)limx→2​(x2+5)​=limx→2​x−limx→2​3(limx→2​x)2+limx→2​5​=2−34+5​=−9  (2)  x→3 ​lim​x2+1x2−3​=limx→3 ​​(x2+1)limx→3 ​​(x2−3)​=(limx→3 ​​x)2+limx→3 ​​1(limx→3 ​​x)2−limx→3 ​​3​=3+13−3​=0  (3)  因为分母当x→1时，为0，所以进行变换，         x→1lim​x2−1x2−2x+1​=x→1lim​x+1x−1​=limx→1​x+limx→1​1limx→1​x−limx→1​1​=1+11−1​=0  (4)  因为分母当x→1时，为0，所以进行变换，         x→0lim​3x2+2x4x3−2x2+x​=x→0lim​3x+24x2−2x+1​=3limx→0​x+limx→0​24(limx→0​x)2−2limx→0​x+limx→0​1​=0+20−0+1​=21​  (5)  因为分母当x→1时，为0，所以进行变换，         h→0lim​h(x+h)2−x2​=h→0lim​hx2+2hx+h2−x2​=h→0lim​(2x+h)=2x  (6)  x→∞lim​(2−x1​+x21​)=x→∞lim​2−x→∞lim​x1​+x→∞lim​x21​=2−0+0=2  (7)  x→∞lim​2x2−x−1x2−1​=x→∞lim​(2x+1)(x−1)(x+1)(x−1)​=x→∞lim​2+x1​1+x1​​=limx→∞​2+limx→∞​x1​limx→∞​1+limx→∞​x1​​=2+01+0​=21​  (8)  x→∞lim​x4−3x2+1x2+x​=x→∞lim​1−x23​+x41​x21​+x31​​=limx→∞​1−limx→∞​x23​+limx→∞​x41​limx→∞​x21​+limx→∞​x31​​=1−0+00+0​=0  (9)  x→4lim​x2−5x+4x2−6x+8​=x→4lim​(x−1)(x−4)(x−2)(x−4)​=x→4lim​x−1x−2​=limx→4​x−limx→4​1limx→4​x−limx→4​2​=4−14−2​=32​  (10)  x→∞lim​(1+x1​)(2−x21​)=x→∞lim​(2−x21​+x2​−x31​)=2−0+0−0=2  (11)  n→∞lim​(1+21​+41​+⋅⋅⋅+2n1​)=n→∞lim​1−21​1−2n+11​​=n→∞lim​2(1−2n+11​)=2(1−n→∞lim​2n+11​)=2  (12)  n→∞lim​n21+2+3+⋅⋅⋅+(n−1)​=n→∞lim​2n2n(n−1)​=n→∞lim​21​(1−n1​)=21​  (13)  n→∞lim​5n3(n+1)(n+2)(n+3)​=n→∞lim​51​(1+n1​)(1+n2​)(1+n3​)=            51​n→∞lim​(1+n1​)n→∞lim​(1+n2​)n→∞lim​(1+n3​)=51​  (14)  x→1lim​(1−x1​−1−x33​)=x→1lim​1−x31+x+x2−3​=x→1lim​(1−x)(1+x+x2)(x−1)(x+2)​=           x→1lim​1+x+x2−(x+2)​=−limx→1​(1+x+x2)limx→1​(x+2)​=−33​=−1​​

2.   计 算 下 列 极 限 ： \begin{aligned}&2. \ 计算下列极限：&\end{aligned} ​2. 计算下列极限：​​

   ( 1 )    lim ⁡ x → 2 x 3 + 2 x 2 ( x − 2 ) 2 ；                                        ( 2 )    lim ⁡ x → ∞ x 2 2 x + 1 ；    ( 3 )    lim ⁡ x → ∞ ( 2 x 3 − x + 1 ) . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^3+2x^2}{(x-2)^2}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2}{2x+1}；\\\\ &\ \ (3)\ \ \lim_{x \rightarrow \infty}(2x^3-x+1). & \end{aligned} ​  (1)  x→2lim​(x−2)2x3+2x2​；                                      (2)  x→∞lim​2x+1x2​；  (3)  x→∞lim​(2x3−x+1).​​

解：

   ( 1 )   因 为 lim ⁡ x → 2 ( x − 2 ) 2 x 3 + 2 x 2 = 0 ， 所 以 lim ⁡ x → 2 x 3 + 2 x 2 ( x − 2 ) 2 = ∞    ( 2 )   因 为 lim ⁡ x → ∞ 2 x + 1 x 2 = lim ⁡ x → ∞ ( 2 x + 1 x 2 ) = 0 ， 所 以 lim ⁡ x → ∞ x 2 2 x + 1 = ∞    ( 3 )   因 为 lim ⁡ x → ∞ 1 2 x 3 − x + 1 = lim ⁡ x → ∞ 1 x 3 2 − 1 x 2 + 1 x 3 = 0 ， 所 以 lim ⁡ x → ∞ ( 2 x 3 − x + 1 ) = ∞ \begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为\lim_{x \rightarrow 2}\frac{(x-2)^2}{x^3+2x^2}=0，所以\lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^3+2x^2}{(x-2)^2}=\infty\\\\ &\ \ (2)\ 因为\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x+1}{x^2}=\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)=0，所以\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2}{2x+1}=\infty\\\\ &\ \ (3)\ 因为\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{2x^3-x+1}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{x^3}}{2-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}=0，所以\lim_{x \rightarrow \infty}(2x^3-x+1)=\infty & \end{aligned} ​  (1) 因为x→2lim​x3+2x2(x−2)2​=0，所以x→2lim​(x−2)2x3+2x2​=∞  (2) 因为x→∞lim​x22x+1​=x→∞lim​(x2​+x21​)=0，所以x→∞lim​2x+1x2​=∞  (3) 因为x→∞lim​2x3−x+11​=x→∞lim​2−x21​+x31​x31​​=0，所以x→∞lim​(2x3−x+1)=∞​​

3.   计 算 下 列 极 限 ： \begin{aligned}&3. \ 计算下列极限：&\end{aligned} ​3. 计算下列极限：​​

   ( 1 )    lim ⁡ x → 0 x 2 s i n   1 x ；                                        ( 2 )    lim ⁡ x → ∞ a r c t a n   x x \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \lim_{x \rightarrow 0}x^2sin\ \frac{1}{x}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{arctan\ x}{x} & \end{aligned} ​  (1)  x→0lim​x2sin x1​；                                      (2)  x→∞lim​xarctan x​​​

解：

   ( 1 )   因 为 x 2 → 0   ( x → 0 ) ， ∣ s i n   1 x ∣ ≤ 1 ， 所 以 lim ⁡ x → 0 x 2 s i n   1 x = 0    ( 2 )   因 为 1 x → 0   ( x → ∞ ) ， ∣ a r c t a n   x ∣ < π 2 ， 所 以 lim ⁡ x → ∞ a r c t a n   x x = 0 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为x^2 \rightarrow 0\ (x \rightarrow 0)，\left|sin\ \frac{1}{x}\right| \le 1，所以\lim_{x \rightarrow 0}x^2sin\ \frac{1}{x}=0\\\\ &\ \ (2)\ 因为\frac{1}{x} \rightarrow 0\ (x \rightarrow \infty)，|arctan\ x| \lt \frac{\pi}{2}，所以\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{arctan\ x}{x}=0 & \end{aligned} ​  (1) 因为x2→0 (x→0)，∣∣∣∣​sin x1​∣∣∣∣​≤1，所以x→0lim​x2sin x1​=0  (2) 因为x1​→0 (x→∞)，∣arctan x∣<2π​，所以x→∞lim​xarctan x​=0​​

4.   设 { a n } ， { b n } ， { c n } 均 为 非 负 数 列 ， 且 lim ⁡ n → ∞ a n = 0 ， lim ⁡ n → ∞ b n = 1 ， lim ⁡ n → ∞ c n = ∞ 。 下 列 陈 述 中 哪 些 是 对 的 ，      哪 些 是 错 的 ？ 如 果 是 对 的 ， 说 明 理 由 ； 如 果 是 错 的 ， 试 给 出 一 个 反 例 。 \begin{aligned}&4. \ 设\{a_n\}，\{b_n\}，\{c_n\}均为非负数列，且\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=0，\lim_{n \rightarrow \infty}b_n=1，\lim_{n \rightarrow \infty}c_n=\infty。下列陈述中哪些是对的，\\\\&\ \ \ \ 哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例。&\end{aligned} ​4. 设{an​}，{bn​}，{cn​}均为非负数列，且n→∞lim​an​=0，n→∞lim​bn​=1，n→∞lim​cn​=∞。下列陈述中哪些是对的，    哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例。​​

   ( 1 )    a n < b n ， n ∈ N + ；                                        ( 2 )    b n < c n ， n ∈ N + ；    ( 3 )    lim ⁡ n → ∞ a n c n 不 存 在 ；                                          ( 4 )    lim ⁡ n → ∞ b n c n 不 存 在 。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ a_n \lt b_n，n \in N_+；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ b_n \lt c_n，n \in N_+；\\\\ &\ \ (3)\ \ \lim_{n \rightarrow \infty}{a_nc_n}不存在；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \lim_{n \rightarrow \infty}{b_nc_n}不存在。 & \end{aligned} ​  (1)  an​<bn​，n∈N+​；                                      (2)  bn​<cn​，n∈N+​；  (3)  n→∞lim​an​cn​不存在；                                        (4)  n→∞lim​bn​cn​不存在。​​

解：

   ( 1 )   错 的 ， 例 ： a n = 1 n ， b n = n n + 1 ， n ∈ N + ， 当 n = 1 时 ， a n = 1 > b n = 1 2 。    ( 2 )   错 的 ， 例 ： b n = n n + 1 ， c n = ( − 1 ) n n ， n ∈ N + 。 当 n 为 奇 数 时 ， b n < c n 不 成 立 。    ( 3 )   错 的 ， 例 ： a n = 1 n 2 ， c n = n ， n ∈ N + 。 lim ⁡ n → ∞ a n c n = 0 。    ( 4 )   对 的 ， 如 果 lim ⁡ n → ∞ b n c n 存 在 ， 则 lim ⁡ n → ∞ ( b n c n ) ⋅ lim ⁡ n → ∞ 1 b n 也 存 在 ， 与 已 知 矛 盾 。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 错的，例：a_n=\frac{1}{n}，b_n=\frac{n}{n+1}，n \in N_+，当n=1时，a_n=1 \gt b_n=\frac{1}{2}。\\\\ &\ \ (2)\ 错的，例：b_n=\frac{n}{n+1}，c_n=(-1)^nn，n \in N_+。当n为奇数时，b_n \lt c_n不成立。\\\\ &\ \ (3)\ 错的，例：a_n=\frac{1}{n^2}，c_n=n，n \in N_+。\lim_{n \rightarrow \infty}a_nc_n=0。\\\\ &\ \ (4)\ 对的，如果\lim_{n \rightarrow \infty}b_nc_n存在，则\lim_{n \rightarrow \infty}(b_nc_n) \cdot \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{b_n}也存在，与已知矛盾。 & \end{aligned} ​  (1) 错的，例：an​=n1​，bn​=n+1n​，n∈N+​，当n=1时，an​=1>bn​=21​。  (2) 错的，例：bn​=n+1n​，cn​=(−1)nn，n∈N+​。当n为奇数时，bn​<cn​不成立。  (3) 错的，例：an​=n21​，cn​=n，n∈N+​。n→∞lim​an​cn​=0。  (4) 对的，如果n→∞lim​bn​cn​存在，则n→∞lim​(bn​cn​)⋅n→∞lim​bn​1​也存在，与已知矛盾。​​

5.   下 列 陈 述 中 ， 哪 些 是 对 的 ， 哪 些 是 错 的 ？ 如 果 是 对 的 ， 说 明 理 由 ； 如 果 是 错 的 ， 试 给 出 一 个 反 例 。 \begin{aligned}&5. \ 下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例。&\end{aligned} ​5. 下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例。​​

   ( 1 )    如 果 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) 存 在 ， 但 lim ⁡ x → x 0 g ( x ) 不 存 在 ， 那 么 lim ⁡ x → x 0 [ f ( x ) + g ( x ) ] 不 存 在 ；    ( 2 )    如 果 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) 和 lim ⁡ x → x 0 g ( x ) 都 不 存 在 ， 那 么 lim ⁡ x → x 0 [ f ( x ) + g ( x ) ] 不 存 在 ；    ( 3 )    如 果 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) 存 在 ， 但 lim ⁡ x → x 0 g ( x ) 不 存 在 ， 那 么 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) ⋅ g ( x ) 不 存 在 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 如果\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)存在，但\lim_{x \rightarrow x_0}g(x)不存在，那么\lim_{x \rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]不存在；\\\\ &\ \ (2)\ \ 如果\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)和\lim_{x \rightarrow x_0}g(x)都不存在，那么\lim_{x \rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]不存在；\\\\ &\ \ (3)\ \ 如果\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)存在，但\lim_{x \rightarrow x_0}g(x)不存在，那么\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) \cdot g(x)不存在 & \end{aligned} ​  (1)  如果x→x0​lim​f(x)存在，但x→x0​lim​g(x)不存在，那么x→x0​lim​[f(x)+g(x)]不存在；  (2)  如果x→x0​lim​f(x)和x→x0​lim​g(x)都不存在，那么x→x0​lim​[f(x)+g(x)]不存在；  (3)  如果x→x0​lim​f(x)存在，但x→x0​lim​g(x)不存在，那么x→x0​lim​f(x)⋅g(x)不存在​​

解：

   ( 1 )   对 的 ， 如 果 lim ⁡ x → x 0 [ f ( x ) + g ( x ) ] 存 在 ， 则 lim ⁡ x → x 0 g ( x ) = lim ⁡ x → x 0 [ f ( x ) + g ( x ) ] − lim ⁡ x → x 0 f ( x ) 也 存 在 ， 与 已 知 条 件 矛 盾 。    ( 2 )   错 的 ， 例 ： f ( x ) = s g n   x ， g ( x ) = − s g n   x 在 x → 0 时 的 极 限 都 不 存 在 ， 但 f ( x ) + g ( x ) ≡ 0 在 x → 0 时 的 极 限 存 在 。    ( 3 )   错 的 ， 例 ： lim ⁡ x → 0 x = 0 ， lim ⁡ x → 0 s i n   1 x 不 存 在 ， 但 lim ⁡ x → 0 x   s i n   1 x = 0 。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 对的，如果\lim_{x \rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]存在，则\lim_{x \rightarrow x_0}g(x)=\lim_{x \rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]-\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)也存在，与已知条件矛盾。\\\\ &\ \ (2)\ 错的，例：f(x)=sgn\ x，g(x)=-sgn\ x在x \rightarrow 0时的极限都不存在，但f(x)+g(x) \equiv 0在x \rightarrow 0时的极限存在。\\\\ &\ \ (3)\ 错的，例：\lim_{x \rightarrow 0}x=0，\lim_{x \rightarrow 0}sin\ \frac{1}{x}不存在，但\lim_{x \rightarrow 0}x\ sin\ \frac{1}{x}=0。 & \end{aligned} ​  (1) 对的，如果x→x0​lim​[f(x)+g(x)]存在，则x→x0​lim​g(x)=x→x0​lim​[f(x)+g(x)]−x→x0​lim​f(x)也存在，与已知条件矛盾。  (2) 错的，例：f(x)=sgn x，g(x)=−sgn x在x→0时的极限都不存在，但f(x)+g(x)≡0在x→0时的极限存在。  (3) 错的，例：x→0lim​x=0，x→0lim​sin x1​不存在，但x→0lim​x sin x1​=0。​​

6.   证 明 本 节 定 理 3 中 的 ( 2 ) 。 \begin{aligned}&6. \ 证明本节定理3中的(2)。&\end{aligned} ​6. 证明本节定理3中的(2)。​​

解：

   因 lim ⁡ f ( x ) = A ， lim ⁡ g ( x ) = B ， 由 定 理 1 ， 有 f ( x ) = A + α ， g ( x ) = B + β ， 其 中 α 、 β 都 是 无 穷 小 ，    于 是 f ( x ) g ( x ) = ( A + α ) ( B + β ) = A B + ( A β + B α + α β ) ， 由 定 理 2 推 论 1 、 2 ， A β 、 B α 、 α β 都 是 无 穷 小 ，    再 由 定 理 1 ， ( A β + B α + α β ) 也 是 无 穷 小 ， 由 定 理 1 ， 得 lim ⁡ f ( x ) g ( x ) = A B = lim ⁡ f ( x ) ⋅ lim ⁡ g ( x ) 。 \begin{aligned} &\ \ 因\lim{f(x)}=A，\lim{g(x)}=B，由定理1，有f(x)=A+\alpha，g(x)=B+\beta，其中\alpha、\beta都是无穷小，\\\\ &\ \ 于是f(x)g(x)=(A+\alpha)(B+\beta)=AB+(A\beta+B\alpha+\alpha\beta)，由定理2推论1、2，A\beta、B\alpha、\alpha\beta都是无穷小，\\\\ &\ \ 再由定理1，(A\beta+B\alpha+\alpha\beta)也是无穷小，由定理1，得\lim{f(x)g(x)}=AB=\lim{f(x)} \cdot \lim{g(x)}。 & \end{aligned} ​  因limf(x)=A，limg(x)=B，由定理1，有f(x)=A+α，g(x)=B+β，其中α、β都是无穷小，  于是f(x)g(x)=(A+α)(B+β)=AB+(Aβ+Bα+αβ)，由定理2推论1、2，Aβ、Bα、αβ都是无穷小，  再由定理1，(Aβ+Bα+αβ)也是无穷小，由定理1，得limf(x)g(x)=AB=limf(x)⋅limg(x)。​​

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