弧长与单位切向量

1. 弧长L=∫|v|dt

    即弧长是速率对时间的积分，为一标量。对应的，位置向量r是个向量（这话怎么这么饶舌……）。

2. 单位切向量T=v/|v|，表示运动方向。

3. T=v/|v|=dr/ds

    运动方向=单位切向量=位置变化/弧长变化

4. 曲率κ=|dT/ds|

    T表示的是运动方向，因此|ΔT/Δs|就表示运动方向的变化量与弧长变化量的比例关系，也就是曲率。在同样的弧长变化量下，运动方向变化越剧烈，κ越大，弯曲越厉害。

    κ= |dT/dt| / |v|

    直观上看，ds=|v|dt，因此κ=|dT/ds|=(1/|v|)|dT/dt|

5. 单位法向量N=(1/κ)(dT/ds)=(dT/dt)/|dT/dt|

    T是表示运动方向的单位切向量，于是dT/dt表示运动方向的变化。T为单位向量（长度总为1），因此dT/dt垂直于T（定长向量垂直于其导数）。单位化后即得到N。

6. r、v、T和N的关系总结

    v=dr/dt，归一化后得到T；

    （非单位）法向量=dT/dt，归一化后得到N。