高等数学（第七版）同济大学 习题8-3 个人解答
高等数学（第七版）同济大学 习题8-3
函数作图软件：Mathematica
1. 求过点 ( 3 , 0 , − 1 ) 且与平面 3 x − 7 y + 5 z − 12 = 0 平行的平面方程 . \begin{aligned}&1. \ 求过点(3, \ 0, \ -1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.&\end{aligned} 1. 求过点(3, 0, −1)且与平面3x−7y+5z−12=0平行的平面方程.
解：
因为所求平面与平面 3 x − 7 y + 5 z − 12 = 0 平行，所以，平面的法向量取 n = ( 3 , − 7 , 5 ) ， 设所求平面方程为 3 x − 7 y + 5 z + D = 0 ，将点 ( 3 , 0 , − 1 ) 代入方程得 D = − 4 ，所求平面方程为 3 x − 7 y + 5 z − 4 = 0. \begin{aligned} &\ \ 因为所求平面与平面3x-7y+5z-12=0平行，所以，平面的法向量取n=(3, \ -7, \ 5)，\\\\ &\ \ 设所求平面方程为3x-7y+5z+D=0，将点(3, \ 0, \ -1)代入方程得D=-4，所求平面方程为3x-7y+5z-4=0. & \end{aligned} 因为所求平面与平面3x−7y+5z−12=0平行，所以，平面的法向量取n=(3, −7, 5)， 设所求平面方程为3x−7y+5z+D=0，将点(3, 0, −1)代入方程得D=−4，所求平面方程为3x−7y+5z−4=0.
2. 求过点 M 0 ( 2 , 9 , − 6 ) 且与连接坐标原点及点 M 0 的线段 O M 0 垂直的平面方程 . \begin{aligned}&2. \ 求过点M_0(2, \ 9, \ -6)且与连接坐标原点及点M_0的线段OM_0垂直的平面方程.&\end{aligned} 2. 求过点M0(2, 9, −6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程.
解：
O M 0 → = ( 2 − 0 , 9 − 0 , − 6 − 0 ) = ( 2 , 9 , − 6 ) ，所求平面与 O M 0 → 垂直，可取 n = O M 0 → ， 设所求平面方程为 2 x + 9 y − 6 z + D = 0 ，将点 M 0 ( 2 , 9 , − 6 ) 代入方程得 D = − 121 ， 所求平面方程为 2 x + 9 y − 6 z − 121 = 0. \begin{aligned} &\ \ \overrightarrow{OM_0}=(2-0, \ 9-0, \ -6-0)=(2, \ 9, \ -6)，所求平面与\overrightarrow{OM_0}垂直，可取n=\overrightarrow{OM_0}，\\\\ &\ \ 设所求平面方程为2x+9y-6z+D=0，将点M_0(2, \ 9, \ -6)代入方程得D=-121，\\\\ &\ \ 所求平面方程为2x+9y-6z-121=0. & \end{aligned} OM0=(2−0, 9−0, −6−0)=(2, 9, −6)，所求平面与OM0垂直，可取n=OM0， 设所求平面方程为2x+9y−6z+D=0，将点M0(2, 9, −6)代入方程得D=−121， 所求平面方程为2x+9y−6z−121=0.
3. 求过 M 1 ( 1 , 1 , − 1 ) ， M 2 ( − 2 , − 2 , 2 ) 和 M 3 ( 1 , − 1 , 2 ) 三点的平面方程 . \begin{aligned}&3. \ 求过M_1(1, \ 1, \ -1)，M_2(-2, \ -2, \ 2)和M_3(1, \ -1, \ 2)三点的平面方程.&\end{aligned} 3. 求过M1(1, 1, −1)，M2(−2, −2, 2)和M3(1, −1, 2)三点的平面方程.
解：
由 ∣ x − 1 y − 1 z + 1 − 2 − 2 − 2 − 1 2 + 1 1 − 1 − 1 − 1 2 + 1 ∣ = ∣ x − 1 y − 1 z + 1 − 4 − 3 3 0 − 2 3 ∣ = 0 ，得 x − 3 y − 2 z = 0 ，即所求平面方程 . \begin{aligned} &\ \ 由\left|\begin{array}{cccc}x-1 & y-1 &z+1\\-2-2 &-2-1 &2+1\\1-1 &-1-1 &2+1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}x-1 & y-1 &z+1\\-4 &-3 &3\\0 &-2 &3\end{array}\right|=0，得x-3y-2z=0，即所求平面方程. & \end{aligned} 由∣ ∣x−1−2−21−1y−1−2−1−1−1z+12+12+1∣ ∣=∣ ∣x−1−40y−1−3−2z+133∣ ∣=0，得x−3y−2z=0，即所求平面方程.
4. 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面： \begin{aligned}&4. \ 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：&\end{aligned} 4. 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：
( 1 ) x = 0 ； ( 2 ) 3 y − 1 = 0 ； ( 3 ) 2 x − 3 y − 6 = 0 ； ( 4 ) x − 3 y = 0 ； ( 5 ) y + z = 1 ； ( 6 ) x − 2 z = 0 ； ( 7 ) 6 x + 5 y − z = 0. \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ x=0；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ 3y-1=0；\\\\ &\ \ (3)\ \ 2x-3y-6=0；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ x-\sqrt{3}y=0；\\\\ &\ \ (5)\ \ y+z=1；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\ \ x-2z=0；\\\\ &\ \ (7)\ \ 6x+5y-z=0. & \end{aligned} (1) x=0； (2) 3y−1=0； (3) 2x−3y−6=0； (4) x−3y=0； (5) y+z=1； (6) x−2z=0； (7) 6x+5y−z=0.
解：
(
1
)
x
=
0
表示
y
O
z
平面
\begin{aligned} &\ \ (1)\ x=0表示yOz平面 & \end{aligned}
(1) x=0表示yOz平面
(
2
)
3
y
−
1
=
0
表示过点
(
0
,
1
3
,
0
)
且与
y
轴垂直的平面
\begin{aligned} &\ \ (2)\ 3y-1=0表示过点\left(0, \ \frac{1}{3}, \ 0\right)且与y轴垂直的平面 & \end{aligned}
(2) 3y−1=0表示过点(0, 31, 0)且与y轴垂直的平面
(
3
)
2
x
−
3
y
−
6
=
0
表示与
z
轴平行的平面
\begin{aligned} &\ \ (3)\ 2x-3y-6=0表示与z轴平行的平面 & \end{aligned}
(3) 2x−3y−6=0表示与z轴平行的平面
(
4
)
x
−
3
y
=
0
表示过
z
轴的平面
\begin{aligned} &\ \ (4)\ x-\sqrt{3}y=0表示过z轴的平面 & \end{aligned}
(4) x−3y=0表示过z轴的平面
(
5
)
y
+
z
=
1
表示平行于
x
轴的平面
\begin{aligned} &\ \ (5)\ y+z=1表示平行于x轴的平面 & \end{aligned}
(5) y+z=1表示平行于x轴的平面
(
6
)
x
−
2
z
=
0
表示过
y
轴的平面
\begin{aligned} &\ \ (6)\ x-2z=0表示过y轴的平面 & \end{aligned}
(6) x−2z=0表示过y轴的平面
(
7
)
6
x
+
5
y
−
z
=
0
表示过原点的平面
\begin{aligned} &\ \ (7)\ 6x+5y-z=0表示过原点的平面 & \end{aligned}
(7) 6x+5y−z=0表示过原点的平面
5. 求平面 2 x − 2 y + z + 5 = 0 与各坐标面的夹角的余弦 . \begin{aligned}&5. \ 求平面2x-2y+z+5=0与各坐标面的夹角的余弦.&\end{aligned} 5. 求平面2x−2y+z+5=0与各坐标面的夹角的余弦.
解：
平面的法向量为 n = ( 2 , − 2 , 1 ) ，设平面与三个坐标面 x O y ， y O z ， z O x 的夹角为 θ 1 ， θ 2 ， θ 3 ， 根据平面的方向余弦可知 c o s θ 1 = c o s γ = n ⋅ k ∣ n ∣ ∣ k ∣ = ( 2 , − 2 , 1 ) ⋅ ( 0 , 0 , 1 ) 2 2 + ( − 2 ) 2 + 1 2 ⋅ 1 = 1 3 ， c o s θ 2 = c o s α = n ⋅ i ∣ n ∣ ∣ i ∣ = ( 2 , − 2 , 1 ) ⋅ ( 1 , 0 , 0 ) 3 ⋅ 1 = 2 3 ， c o s θ 3 = c o s β = n ⋅ j ∣ n ∣ ∣ j ∣ = ( 2 , − 2 , 1 ) ⋅ ( 0 , 1 , 0 ) 3 ⋅ 1 = − 2 3 \begin{aligned} &\ \ 平面的法向量为n=(2, \ -2, \ 1)，设平面与三个坐标面xOy，yOz，zOx的夹角为\theta_1，\theta_2，\theta_3，\\\\ &\ \ 根据平面的方向余弦可知\\\\ &\ \ cos\ \theta_1=cos\ \gamma=\frac{n\cdot k}{|n|\ |k|}=\frac{(2, \ -2, \ 1)\cdot(0, \ 0, \ 1)}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}\cdot 1}=\frac{1}{3}，\\\\ &\ \ cos\ \theta_2=cos\ \alpha=\frac{n\cdot i}{|n|\ |i|}=\frac{(2, \ -2, \ 1)\cdot(1, \ 0, \ 0)}{3\cdot 1}=\frac{2}{3}，\\\\ &\ \ cos\ \theta_3=cos\ \beta=\frac{n\cdot j}{|n|\ |j|}=\frac{(2, \ -2, \ 1)\cdot(0, \ 1, \ 0)}{3\cdot 1}=-\frac{2}{3} & \end{aligned} 平面的法向量为n=(2, −2, 1)，设平面与三个坐标面xOy，yOz，zOx的夹角为θ1，θ2，θ3， 根据平面的方向余弦可知 cos θ1=cos γ=∣n∣ ∣k∣n⋅k=22+(−2)2+12⋅1(2, −2, 1)⋅(0, 0, 1)=31， cos θ2=cos α=∣n∣ ∣i∣n⋅i=3⋅1(2, −2, 1)⋅(1, 0, 0)=32， cos θ3=cos β=∣n∣ ∣j∣n⋅j=3⋅1(2, −2, 1)⋅(0, 1, 0)=−32
6. 一平面过点 ( 1 , 0 , − 1 ) 且平行于向量 a = ( 2 , 1 , 1 ) 和 b ( 1 , − 1 , 0 ) ，试求这平面方程 . \begin{aligned}&6. \ 一平面过点(1, \ 0, \ -1)且平行于向量a=(2, \ 1, \ 1)和b(1, \ -1, \ 0)，试求这平面方程.&\end{aligned} 6. 一平面过点(1, 0, −1)且平行于向量a=(2, 1, 1)和b(1, −1, 0)，试求这平面方程.
解：
所求平面平行于向量 a 和 b ，取平面的法向量 n = a × b = ∣ i j k 2 1 1 1 − 1 0 ∣ = ( 1 , 1 , − 3 ) ， 所求平面为 1 ⋅ ( x − 1 ) + 1 ⋅ ( y − 0 ) − 3 ⋅ ( z + 1 ) = 0 ，即 x + y − 3 z − 4 = 0. \begin{aligned} &\ \ 所求平面平行于向量a和b，取平面的法向量n=a \times b=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\2 &1 &1\\1 &-1 &0\end{array}\right|=(1, \ 1, \ -3)，\\\\ &\ \ 所求平面为1\cdot (x-1)+1\cdot (y-0)-3\cdot(z+1)=0，即x+y-3z-4=0. & \end{aligned} 所求平面平行于向量a和b，取平面的法向量n=a×b=∣ ∣i21j1−1k10∣ ∣=(1, 1, −3)， 所求平面为1⋅(x−1)+1⋅(y−0)−3⋅(z+1)=0，即x+y−3z−4=0.
7. 求三平面 x + 3 y + z = 1 ， 2 x − y − z = 0 ， − x + 2 y + 2 z = 3 的交点 . \begin{aligned}&7. \ 求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=3的交点.&\end{aligned} 7. 求三平面x+3y+z=1，2x−y−z=0，−x+2y+2z=3的交点.
解：
解方程组 { x + 3 y + z = 1 ， 2 x − y − z = 0 ， − x + 2 y + 2 z = 3. 得 x = 1 ， y = − 1 ， z = 3 ，所求交点为 ( 1 , − 1 , 3 ) . \begin{aligned} &\ \ 解方程组\begin{cases}x+3y+z=1，\\\\2x-y-z=0，\\\\-x+2y+2z=3.\end{cases}得x=1，y=-1，z=3，所求交点为(1, \ -1, \ 3). & \end{aligned} 解方程组⎩ ⎨ ⎧x+3y+z=1，2x−y−z=0，−x+2y+2z=3.得x=1，y=−1，z=3，所求交点为(1, −1, 3).
8. 分别按下列条件求平面方程： \begin{aligned}&8. \ 分别按下列条件求平面方程：&\end{aligned} 8. 分别按下列条件求平面方程：
( 1 ) 平行于 x O z 面且经过点 ( 2 , − 5 , 3 ) ； ( 2 ) 通过 z 轴和点 ( − 3 , 1 , − 2 ) ； ( 3 ) 平行于 x 轴且经过两点 ( 4 , 0 , − 2 ) 和 ( 5 , 1 , 7 ) . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 平行于xOz面且经过点(2, \ -5, \ 3)；\\\\ &\ \ (2)\ \ 通过z轴和点(-3, \ 1, \ -2)；\\\\ &\ \ (3)\ \ 平行于x轴且经过两点(4, \ 0, \ -2)和(5, \ 1, \ 7). & \end{aligned} (1) 平行于xOz面且经过点(2, −5, 3)； (2) 通过z轴和点(−3, 1, −2)； (3) 平行于x轴且经过两点(4, 0, −2)和(5, 1, 7).
解：
( 1 ) 所求平面平行于 x O z 面，设所求平面方程为 B y + D = 0 ，将点 ( 2 , − 5 , 3 ) 代入方程得 − 5 B + D = 0 ， 即 D = 5 B ，所求平面方程为 B y + 5 B = 0 ，即 y + 5 = 0. ( 2 ) 所求平面过 z 轴，设所求平面方程为 A x + B y = 0 ，将点 ( − 3 , 1 , − 2 ) 代入方程得 − 3 A + B = 0 ， 即 B = 3 A ，所求平面方程为 A x + 3 A y = 0 ，即 x + 3 y = 0. ( 3 ) 所求平面平行于 x 轴，设所求平面方程为 B y + C z + D = 0 ，将点 ( 4 , 0 , − 2 ) 和 ( 5 , 1 , 7 ) 代入方程得 − 2 C + D = 0 ， B + 7 C + D = 0 ，解得 C = D 2 ， B = − 9 2 D ，所求平面方程为 − 9 2 D y + D 2 z + D = 0 ， 即 9 y − z − 2 = 0. \begin{aligned} &\ \ (1)\ 所求平面平行于xOz面，设所求平面方程为By+D=0，将点(2, \ -5, \ 3)代入方程得-5B+D=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 即D=5B，所求平面方程为By+5B=0，即y+5=0.\\\\ &\ \ (2)\ 所求平面过z轴，设所求平面方程为Ax+By=0，将点(-3, \ 1, \ -2)代入方程得-3A+B=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 即B=3A，所求平面方程为Ax+3Ay=0，即x+3y=0.\\\\ &\ \ (3)\ 所求平面平行于x轴，设所求平面方程为By+Cz+D=0，将点(4, \ 0, \ -2)和(5, \ 1, \ 7)代入方程得\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ -2C+D=0，B+7C+D=0，解得C=\frac{D}{2}，B=-\frac{9}{2}D，所求平面方程为-\frac{9}{2}Dy+\frac{D}{2}z+D=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 即9y-z-2=0. & \end{aligned} (1) 所求平面平行于xOz面，设所求平面方程为By+D=0，将点(2, −5, 3)代入方程得−5B+D=0， 即D=5B，所求平面方程为By+5B=0，即y+5=0. (2) 所求平面过z轴，设所求平面方程为Ax+By=0，将点(−3, 1, −2)代入方程得−3A+B=0， 即B=3A，所求平面方程为Ax+3Ay=0，即x+3y=0. (3) 所求平面平行于x轴，设所求平面方程为By+Cz+D=0，将点(4, 0, −2)和(5, 1, 7)代入方程得 −2C+D=0，B+7C+D=0，解得C=2D，B=−29D，所求平面方程为−29Dy+2Dz+D=0， 即9y−z−2=0.
9. 求点 ( 1 , 2 , 1 ) 到平面 x + 2 y + 2 z − 10 = 0 的距离 . \begin{aligned}&9. \ 求点(1, \ 2, \ 1)到平面x+2y+2z-10=0的距离.&\end{aligned} 9. 求点(1, 2, 1)到平面x+2y+2z−10=0的距离.
解：
点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 到平面 A x + B y + C z + D = 0 的距离公式 d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 = ∣ 1 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 − 10 ∣ 1 2 + 2 2 + 2 2 = ∣ − 3 ∣ 3 = 1. \begin{aligned} &\ \ 点M_0(x_0, \ y_0, \ z_0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式\\\\ &\ \ d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{|1+2\cdot 2+2\cdot 1-10|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{|-3|}{3}=1. & \end{aligned} 点M0(x0, y0, z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式 d=A2+B2+C2∣Ax0+By0+Cz0+D∣=12+22+22∣1+2⋅2+2⋅1−10∣=3∣−3∣=1.