目录

1. 螺旋矩阵 II  ★★

2. 排列序列  ★★★

3. 数字 1 的个数  ★★★

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1. 螺旋矩阵 II

给你一个正整数 n ，生成一个包含 1 到 n2 所有元素，且元素按顺时针顺序螺旋排列的 n x n 正方形矩阵 matrix 。

示例 1：

输入：n = 3
输出：[[1,2,3],[8,9,4],[7,6,5]]

示例 2：

输入：n = 1
输出：[[1]]

提示：

• 1 <= n <= 20

代码：

class Solution(object):
    def generateMatrix(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: List[List[int]]
        """
        res = [[0] * n for _ in range(n)]
        pos = [0, 0]
        move = (0, 1)
        for index in range(1, n * n + 1):
            res[pos[0]][pos[1]] = index
            if res[(pos[0] + move[0]) % n][(pos[1] + move[1]) % n] > 0:
                move = (move[1], -1 * move[0])
            pos[0] = pos[0] + move[0]
            pos[1] = pos[1] + move[1]
        return res

if __name__ == '__main__':
    s = Solution()

    print (s.generateMatrix(3))
    print (s.generateMatrix(1))

输出：

[[1, 2, 3], [8, 9, 4], [7, 6, 5]]
[[1]]

2. 排列序列

给出集合 [1,2,3,...,n]，其所有元素共有 n! 种排列。

按大小顺序列出所有排列情况，并一一标记，当 n = 3 时, 所有排列如下：

1. "123"
2. "132"
3. "213"
4. "231"
5. "312"
6. "321"

给定 n 和 k，返回第 k 个排列。

示例 1：

输入：n = 3, k = 3
输出："213"

示例 2：

输入：n = 4, k = 9
输出："2314"

示例 3：

输入：n = 3, k = 1
输出："123"

提示：

• 1 <= n <= 9
• 1 <= k <= n!

代码： 

class Solution(object):
    def getPermutation(self, n, k):
        """
		:type n: int
		:type k: int
		:rtype: str
		"""
        import math
        res = [""]

        def generate(s, k):
            n = len(s)
            if n <= 2:
                if k == 2:
                    res[0] += s[::-1]
                else:
                    res[0] += s
                return
            step = math.factorial(n - 1)
            yu = k % step
            if yu == 0:
                yu = step
                c = k // step - 1
            else:
                c = k // step
            res[0] += s[c]
            generate(s[:c] + s[c+1:], yu)
            return

        s = ""
        for i in range(1, n + 1):
            s += str(i)
        generate(s, k)
        return res[0]


if __name__ == '__main__':
    s = Solution()
    print(s.getPermutation(3, 3))
    print(s.getPermutation(4, 9))
    print(s.getPermutation(3, 1))

输出：

213
2314
123

3. 数字 1 的个数

给定一个整数 n，计算所有小于等于 n 的非负整数中数字 1 出现的个数。

示例 1：

输入：n = 13
输出：6

示例 2：

输入：n = 0
输出：0

提示：

• 0 <= n <= 10^9

代码：

class Solution:
    def countDigitOne(self, n: int) -> int:
        res, i = 0, 1
        while i <= n:
            res += n // (i * 10) * i
            x = (n // i) % 10
            res += i if x > 1 else (n % i + 1) * x
            i *= 10
        return res

if __name__ == '__main__':
    s = Solution()
    print(s.countDigitOne(13))
    print(s.countDigitOne(0))

输出：

6
0

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附录

排列与组合

是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

基本原理

⑴加法原理和分类计数法

⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

⒉第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

⒊分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。

⑵乘法原理和分步计数法

⒈ 乘法原理：
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

⒉合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

3.与后来的离散型随机变量也有密切相关。

著名问题

计算一些物品在特定条件下分组的方法数目。这些是关于排列、组合和整数分拆的。

地图着色问题

对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异，是否总共只需四种颜色？这是图论的问题。

船夫过河问题

船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西都运过河？这是线性规划的问题。

中国邮差问题

由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是一个NP完全问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然后再用欧拉路径算法求解。这也是图论的问题。

任务分配问题

有一些员工要完成一些任务。各个员工完成不同任务所花费的时间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务只被分配给一个员工。怎样分配员工与任务以使所花费的时间最少？这是线性规划的问题。

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