剑指 Offer 47. 礼物的最大价值

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剑指 Offer 47. 礼物的最大价值 mid

题目描述

在一个 m*n的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：

• $0<grid.length<=200$
• $0<grid[0].length<=200$

分析：动态规划

我们定义 $f(i,j)$ 为从 (0,0)到 (i-1,j-1)所能获得的最大价值（定义 i和 j从 1开始，避免边界问题）。

$f(i,j)$ 只能由 上面$f(i-1,j)$ 和 左边$f(i,j-1)$ 转移而来。

因为是求得最大价值，我们就只能选择两者之间较大的那个，即 $max(f(i-1,j),f(i,j-1))$。再加上当前 (i-1,j-1)位置的价值 grid[i-1][j-1]就是 $f(i,j)$总的价值。

即，$f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i,j-1))+grid[i-1][j-1]$

时间复杂度： $O(n^2)$

C++代码：

class Solution {
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> f(m + 1,vector<int>(n+1));

        for(int i = 1;i <= m;i++){
            for(int j = 1;j <= n;j++){
                f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-1]) + grid[i-1][j-1];
            }
        }
        return f[m][n];
    }
};

Java代码：

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;

        int[][] f = new int[m+1][n+1];

        for(int i = 1;i <= m;i++){
            for(int j = 1;j <= n;j++){
                f[i][j] = Math.max(f[i-1][j],f[i][j-1]) + grid[i-1][j-1];
            }
        }
        return f[m][n];
    }
}