Leetcode.1359 有效的快递序列数目
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Leetcode.1359 有效的快递序列数目 Rating : 1723
题目描述
给你 n
笔订单,每笔订单都需要快递服务。
请你统计所有有效的 收件/配送 序列的数目,确保第 i 个物品的配送服务 delivery(i)
总是在其收件服务 pickup(i)
之后。
由于答案可能很大,请返回答案对 10^9 + 7
取余的结果。
示例 1:
输入:n = 1
输出:1
解释:只有一种序列 (P1, D1),物品 1 的配送服务(D1)在物品 1 的收件服务(P1)后。
示例 2:
输入:n = 2
输出:6
解释:所有可能的序列包括:
(P1,P2,D1,D2),(P1,P2,D2,D1),(P1,D1,P2,D2),(P2,P1,D1,D2),(P2,P1,D2,D1) 和 (P2,D2,P1,D1)。
(P1,D2,P2,D1) 是一个无效的序列,因为物品 2 的收件服务(P2)不应在物品 2 的配送服务(D2)之后。
示例 3:
输入:n = 3
输出:90
提示:
- 1 < = n < = 500 1 <= n <= 500 1<=n<=500
分析: 组合数学
对于第 i
个服务,有配送服务 Di
和 收件服务Pi
。题目要求 Di
要在 Pi
后面,即先收件,再配送。
本题是要求 n
个服务所能组成的合法方案。
对于 n
个服务的方案,我们讨论能否从 n-1
个服务扩展而来。
对于一个共两个服务的合法方案 P1 D1 P2 D2
,我们讨论再加上第 3
个服务 P3 D3
的合法情况。
如上图,共 2 * (n - 1) + 1 = 5
个位置可以添加。
- 将
P3 D3
当作一个整体插到这2 * (n - 1) + 1
个位置中,即 C 2 ( n − 1 ) + 1 1 = 5 C_{2(n-1)+1}^{1} = 5 C2(n−1)+11=5 - 将
P3 D3
分别插入到这2 * (n - 1) + 1
个位置中,即 C 2 ( n − 1 ) + 1 2 = 10 C_{2(n-1)+1}^{2} = 10 C2(n−1)+12=10
两个服务 P1 P2 D1 D2
的合法方案有 6
个,所以 三个服务 P1 P2 P3 D1 D2 D3
的合法方案有 6 * 15 = 90
个。
即, f ( n ) = f ( n − 1 ) ∗ ( C 2 ( n − 1 ) + 1 1 + C 2 ( n − 1 ) + 1 2 ) f(n) = f(n-1) * (C_{2(n-1)+1}^{1} + C_{2(n-1)+1}^{2}) f(n)=f(n−1)∗(C2(n−1)+11+C2(n−1)+12)。
时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)
C++代码:
using LL = long long;
const int MOD = 1e9 + 7;
class Solution {
public:
int countOrders(int n) {
LL ans = 1;
for(int i = 1;i <= n;i++){
// 2 * (n - 1) + 1
LL a = 2 * (i - 1) + 1;
LL b = a * (a - 1) / 2 + a;
ans = ans * b % MOD;;
}
return ans;
}
};
Java代码:
class Solution {
private final int MOD = 1000_000_007;
public int countOrders(int n) {
long ans = 1;
for(int i = 2;i <= n;i++){
long a = 2 * (i - 1) + 1;
long b = a * (a - 1)/2 + a;
ans = ans * b % MOD;
}
return (int)ans;
}
}