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509. 斐波那契数

1137. 第N个泰波那契数

70. 爬楼梯

思路与算法

代码 

746. 使用最小花费爬楼梯

思路与算法

代码

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509. 斐波那契数

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

        F(0) = 0，F(1) = 1
        F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
        给定 n ，请计算 F(n) 。

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n<=1:
            return n
        prev,cur = 0,1
        for k in range(2,n+1):
            cur,prev = prev + cur, cur

        return cur

        执行用时：32 ms, 在所有 Python3 提交中击败了89.08%的用户

        内存消耗：14.8 MB, 在所有 Python3 提交中击败了78.43%的用户

        另外，还有“矩阵快速幂”、“通项公式”等求解方法。

1137. 第N个泰波那契数

泰波那契序列 Tn 定义如下： 

T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2

给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

示例 1：

输入：n = 4
输出：4
解释：
T_3 = 0 + 1 + 1 = 2
T_4 = 1 + 1 + 2 = 4

示例 2：

输入：n = 25
输出：1389537

提示：

• 0 <= n <= 37
• 答案保证是一个 32 位整数，即 answer <= 2^31 - 1。

class Solution:
    def tribonacci(self, n: int) -> int:
        if n<=1:
            return n
        if n==2:
            return 1
        x,y,z = 0,1,1
        for k in range(3,n+1):
            x,y,z = y,z, x+y+z
        return z

        执行用时：32 ms, 在所有 Python3 提交中击败了84.96%的用户

        内存消耗：14.9 MB, 在所有 Python3 提交中击败了34.30%的用户

        同样，本题也可以用“矩阵快速幂”的方法求解。

70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：1 <= n <= 45

思路与算法

        第一步可以向上爬1级或者爬2级。

        第一步爬1级的话还剩下n-1级；第一步爬1级的话还剩下n-2级。记爬n阶的爬法为F(n)，很显然可以得到以下递推关系式（即动态规划的转移方程）：

        

        很显然，这个关系与斐波那契数列的递推关系相同。

        当只有1级台阶时，显然只有一种爬法，即F(1)=1；当有2级台阶时，有两种爬法（直接爬2级，或者分两次各爬1级），即F(2)=2。这个构成了baseline条件。

代码 

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        if n<=2:
            return n
        prev,cur = 1,2
        for k in range(3,n+1):
            cur,prev = prev + cur, cur

        return cur

        执行用时：36 ms, 在所有 Python3 提交中击败了64.34%的用户

        内存消耗：15 MB, 在所有 Python3 提交中击败了21.55%的用户

        留两个思考题：

        你能把 f(x)=2f(x−1)+3f(x−2)+4c 化成齐次线性递推吗？
        如果一个非齐次线性递推可以转化成齐次线性递推，那么一般方法是什么？

746. 使用最小花费爬楼梯

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

示例 2：

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

提示：

• 2 <= cost.length <= 1000
• 0 <= cost[i] <= 999

思路与算法

        假定从下标为k的台阶开始爬到顶部的最小开销记为f(k)，从下标为k的台阶出发有两个选择：

• (1) 向上爬一个台阶，从台阶k+1爬到顶的最小开销为f(k+1)
• (2) 向上爬两个台阶，从台阶k+2爬到顶的最小开销为f(k+2)

        由此可以得到以下转移方程：

        

        很显然，, ，这两者构成了baseline case。

        也可以从顶部往下看，得到另外一种状态转移方程。站在台阶k回头看，可以从台阶k-1跨一步上来，也可以从台阶k-2跨两步上来。记到达台阶k所需要的最小开销为g[k]，可以得到转移方程如下所示：

                

        Baseline case: g(0) = 0; g(1) = cost[0].

        基于这后一种转移方程已迭代的方式的实现，类似于斐波那契数的迭代式计算方式。

        不过以上两种状态转移方程都假定了一定是从台阶0出发。但是，本题有一个小小的坑，即可以选择从台阶0出发或者从台阶1出发！

         为了对付这种情况，可以考虑在阶梯最底部再插入一个开销为0的台阶。这相当于在cost数组前面插入一个0元素。这样做有一个额外的时间开销（长度为n的数组在最前头插入一个数的开销为），不显式地插入这个0也是可以的，但是会使得代码稍微dirty一点。

代码

class Solution:
    def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:
        cost.insert(0,0)
        print(cost)
        n = len(cost)
        if n==0: return 0
        if n==1: return cost[0]

        x,y = 0, cost[0]
        for k in range(2,n+1):
            x,y = y, min(x+cost[k-2],y+cost[k-1])
        return y

        执行用时：44 ms, 在所有 Python3 提交中击败了55.42%的用户

        内存消耗：15 MB, 在所有 Python3 提交中击败了50.21%的用户

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