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【数论】快速幂+欧拉降幂

2023-02-19 12:20:37 时间

快速幂的原理很简单，下面来看一下

2^6=2^2*2^2*2^2

其实就是通过降幂

long long qpow(int x,int y){
  int res=1;
  while(y){
    if(y&1)res=res*x;
    x=x*x;
    y>>=1;
  }
  return res;
}

然后由于MOD的性质

(a*b)%p=(a%p*b%p)%p【当然，下面这个公式可能会更好理解点(a^b)%c=[(a%c)^b]%c】

所以我们可以再优化一下。

long long qpow(int x,int y,int mod){
  int res=1;
  while(y){
    if(y&1)res=res*x%mod;
    x=x*x%mod;
    y>>=1;
  }
  return res;
}

再想一想，如果x有点大，那么第一次乘的时候可能会爆（但是一般情况下上面那个就够用了），那么，我们在循环之前先给x取余一下

long long qpow(int x,int y,int mod){
  int res=1;

  x%=mod;
  while(y){
    if(y&1)res=res*a%mod;
    a=a*a%mod;
    y>>=1;
  }
  return res;
}

上面就是快速幂。

好了，下面来讲一讲欧拉降幂。

在这里，先说说欧拉函数。

f(x)=在小于x的数中，与x互质的数的总个数（更多的若要了解自行百度）

那欧拉降幂就会用到下面的一个公式。

其中

代表的是f(c)的值

所以我们对b还可以进行一次降幂。

int Euler(int n)   //1.直接求欧拉函数的值
{
    int rea=n;
    for(int i=2; i*i<=n; i++)
        if(n%i==0)//第一次找到的必为素因子
        {
            rea=rea-rea/i;
           while(n%i==0){
                n=n/i;//把该素因子全部约掉
            }
        }
    if(n>1)
        rea=rea-rea/n;
    return rea;
}

long long qpow(int x,int y,int mod){
  int res=1;
  x%=mod;
  y=y%Euler(y)+Euler(y);
  while(y){
    if(y&1)res=res*a%mod;
    a=a*a%mod;
    y>>=1;
  }
  return res;
}

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