# 排序算法

• 排序算法的介绍
• 排序的分类
• 算法的时间复杂度
  • 度量一个程序(算法)执行时间的两种方法
  • 时间频度
  • 时间复杂度
  • 常见的时间复杂度
  • 平均时间复杂度和最坏时间复杂度
• 算法的空间复杂度简介
  • 基本介绍

# 排序算法的介绍

排序也称排序算法(Sort Algorithm)，排序是将一组数据，依指定的顺序进行排列的过程。

# 排序的分类

1. 内部排序 指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器(内存)中进行排序。
2. 外部排序法 数据量过大，无法全部加载到内存中，需要借助**外部存储(文件等)**进行排序。
3. 常见的排序算法分类

# 算法的时间复杂度

# 度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

1. 事后统计的方法 这种方法可行,但是有两个问题:一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序;二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素,这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。
2. 事前估算的方法 通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.

# 时间频度

• 基本介绍 时间频度:一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
• 举例说明-基本案例 比如计算.1-100所有数字之和，我们设计两种算法:

• 举例说明-忽略常数项

结论：

1. 2n+20 和 2n 随着 n 变大，执行曲线无限接近, 20 可以忽略
2. 3n+10 和 3n 随着 n 变大，执行曲线无限接近, 10 可以忽略

• 举例说明-忽略低次项

结论：

1. 2n2+3n+10 和 2n2 随着 n 变大，执行曲线无限接近，可以忽略 3n+10
2. n2+5n+20 和 n2 随着 n 变大，执行曲线无限接近，可以忽略 5n+20

• 举例说明-忽略系数

结论：

1. 随着 n 值变大，5n2+7n 和 3n2+2n，执行曲线重合，说明这种情况下，5 和 3 可以省略。
2. 而 n3+5n 和 6n3+4n，执行曲线分离，说明多少次方式关键。

# 时间复杂度

1. 一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用 T(n) 表示，若有某个辅助函数 f(n) ，使得当 n 趋近于无穷大时，T(n)/ f(n)的极限值为不等于零的常数，则称 f(n)是 T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=O( f(n)) ，称 o( f((n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
2. T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。如: T(n)=n2+7n+6 与 T(n)=3n2+2n+2 它们的T(n)不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。
3. 计算时间复杂度的方法：
   • 用常数Ⅰ代替运行时间中的所有加法常数‘T(n)=n2+7n+6 => T(n)=n2+7n+1
   • 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项T(n)=n2+7n+1 => T(n)= n2
   • 去除最高阶项的系数‘T(n)= n2 => T(n)= n2  => O(n2)

# 常见的时间复杂度

1. 常数阶 O(1)
2. 对数阶 O(log2n)
3. 线性阶 O(n)
4. 线性对数阶 O(nlog2n)
5. 平方阶 O(n2)
6. 立方阶 O(n3)
7. k 次方阶 O(nk)
8. 指数阶 O(22)

常见的时间复杂度对应的图：

说明：

1. 常见的算法时间复杂度由小到大依次为：O(1)<O(log2n)<O(n)<O(n2)<O(n3)<O(nk)<O(2n)，随着问题规模 n 的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
2. 从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

常数阶 O(1)

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;

上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

对数阶 O(log2n)

int i = 1;
while(i < n){
    i = i * 2;
}

说明:在while循环里面，每次都将 i 乘以 2 ，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环 x 次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n ，那么x=logzn也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为: O(log2n)。O(log2n) 的这个2时间上是根据代码变化的，i=i*3，则是O(log3n).

线性阶 O(n)

for(i = 1;i <= n; ++i) {
    j = 1;
    j++;
}

说明:这段代码，for 循环里面的代码会执行 n 遍，因此它消耗的时间是随着 n 的变化而变化的，因此这类代码都可以用 O(n) 来表示它的时间复杂度

线性对数阶 O(nlogN)

for(m = 1;m < n;m++) {
    i = 1;
    while(i < n) {
        i = i * 2;
    }
}

说明:线性对数阶 O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了o(nlogN)

平方阶 O(n2)

for(x = 1;i <= n;x++) {
    for(i = 1;i <= n;i++) {
        j = 1;
        j++;
    }
}

说明:平方阶 O(n2) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n2)，这段代码其实就是嵌套了2层 n 循环，它的时间复杂度就是 O(n*n)， 即**O(n2)**如果将其中一层循环的 n 改成 m ，那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)

立方阶O(n³)、K次方阶O(nk)

# 平均时间复杂度和最坏时间复杂度

1. 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
2. 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
3. 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)。

# 算法的空间复杂度简介

# 基本介绍

1. 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。
2. 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法，基数排序就属于这种情况
3. 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.