天籁数学——数列篇(1)
好久没写博客了,这个系列就来聊聊数学,我们知道数学是一种工具,更是一种思想,在我们的日常生活和工作中都有广泛的应用。
比如算法中有一种叫做“递推思想”,转化到数学上来说就是“数列”,而我们苦逼的coding,复杂度搞死也只能控制在O(N),但有没有
想过对这种问题可以一针见血,一刀毙命,这就需要用到“数学”上的知识。猴子吃桃 问题就是一个活生生的例子,评论上给出了很好的解决方
案,学习数学就应该能让它解决点实际上的问题,下面来推导一下。
为了方便,将递推公式写成:
an=2an-1+2 ①
已知首项:a1=1
将①变形得
an+2=2(an-1+2) ②
由②可推导
an-1+2=2(an-2+2) ③
an-2+2=2(an-3+2) ④
...
a3+2=2(a2+2) ...
a2+2=2(a1+2) ...
然后我们将这N-1项相乘,化简得
an+2=2n-1(a1+2) ⑤
又因为 a1=1 则通项公式为
an=2n-1*3-2 ⑥
根据”递推公式“我们求出了”通项公式“,现在我们可以秒杀任何一天的桃子数量,现在又来问题了,如何求出前N天的桃子总和,在
数列中对应的就是求前n项和的问题,在得知an的情况下,求Sn也是秒杀效果。
⑥式是典型的{nan+bn}模型,针对这个模型,我们拆分成{nan}+{bn},然后分别计算它们的前n项和,最后合并。
<1> 3*2n-1 的前n项和为: Sn=3*20+3*21+3*22+3*23+...+ 3*2n-1 ⑦
变形⑦可知 2Sn=3*21+3*22+3*23+...+3*2n ⑧
⑦-⑧得(错位相减)
-Sn=3*20-3*2n
=> Sn=3*2n-3
<2> 2的前n项和为: => Tn=2n
综合两部分结果可知:Sm=3*2m-3-2m。
最后我们推导出了 猴子吃桃 问题的前n项和,当你苦逼coding的时候,人家早已推导出了,而且复杂度宇宙第一...
上面的场景只是想让大家知道数列对我们来说非常重要,后面我会拿算法上的题目用数学来KO,让你知道不懂数学简直就弱爆了,
作为数列专题篇,基础知识必不可少,同样我也可以巩固和复习,嘿嘿。
在数列中:通项公式,递推公式,前n项和始终贯穿于数列学习的始终,首篇要了解下面几点:
①: 能够目测简单数列的通项公式。
比如:1,4,9,16,.....
1,0,1,0....
②: 能够根据递推公式求数列的通项公式,比如(猴子吃桃问题)
③: 能够根据数列的前n项和求数列的通项公式。
an= s1 (n=1)
sn-sn-1 (n>=2)
④: 能够求数列的前n项的和Sn
常用方法:倒序相加,错位相减, 分项相消法(有技巧),倍数法。
⑤: 能够理解{an+bn},{anbn}模型的前N项求和问题。
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