使用二分法来解决的一些问题

作者：Grey

原文地址：

博客园：使用二分法来解决的一些问题

CSDN: 使用二分法来解决的一些问题

在一个有序数组中，找某个数是否存在

在线测评见：LeetCode 704. Binary Search

思路：

1. 由于是有序数组，可以先得到中点位置，中点可以把数组分为左右半边；

2. 如果中点位置的值等于目标值，直接返回中点位置；

3. 如果中点位置的值小于目标值，则去数组中点左侧按同样的方式寻找；

4. 如果中点位置的值大于目标值，则取数组中点右侧按同样的方式寻找；

5. 如果最后没有找到，则返回：-1。

代码

class Solution {
    public int search(int[] arr, int t) {
        if (arr == null || arr.length < 1) {
            return -1;
        }
        int l = 0;
        int r = arr.length - 1;
        while (l <= r) {
            int m = l + ((r - l) >> 1);
            if (arr[m] == t) {
                return m;
            } else if (arr[m] > t) {
                r = m - 1;
            } else {
                l = m + 1;
            }
        }
        return -1;
    }
}

时间复杂度 O(logN)。

在一个有序数组中，找大于等于某个数最左侧的位置

在线测评见：LeetCode 35. Search Insert Position

示例 1:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

说明：如果要在 num 这个数组中插入 5 这个元素，应该是插入在元素 3 和 元素 5 之间的位置，即 2 号位置。

示例 2:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

说明：如果要在 num 这个数组中插入 2 这个元素，应该是插入在元素 1 和 元素 3 之间的位置，即 1 号位置。

示例 3:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4

说明：如果要在 num 这个数组中插入 7 这个元素，应该是插入在数组末尾，即 4 号位置。

通过上述示例可以知道，这题本质上就是求在一个有序数组中，找大于等于某个数最左侧的位置，如果不存在，就返回数组长度（表示插入在最末尾位置）

我们只需要在上例基础上进行简单改动即可，上例中，我们找到满足条件的位置就直接返回。

if (arr[m] == t) {
    return m;
}

在本问题中，因为要找到最左侧的位置，

所以，

在遇到 arr[m] == t 的时候，不用直接返回，而是先把位置记录 m 下来，然后继续去左侧找是否还有满足条件的更左边的位置。

同时，

在遇到arr[m] > t条件下，也需要记录下此时的 m 位置，因为这也可能是满足条件的位置。

代码：

class Solution {
    public static int searchInsert(int[] arr, int t) {
        int ans = arr.length;
        int l = 0;
        int r = arr.length - 1;
        while (l <= r) {
            int m = l + ((r - l)>>1);
            if (arr[m] >= t) {
                ans = m;
                r = m - 1;
            } else  {
                l = m + 1;
            } 
        }
        return ans;
    }
}

整个算法的时间复杂度是O(logN)。

在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

OJ见：LeetCode 34. Find First and Last Position of Element in Sorted Array

思路

本题也是用二分来解，当通过二分找到某个元素的时候，不急着返回，而是继续往左（右）找，看能否找到更左（右）位置匹配的值。

代码如下：

class Solution {
    public static int[] searchRange(int[] arr, int t) {
        if (arr == null || arr.length < 1) {
            return new int[]{-1, -1};
        }
        return new int[]{left(arr,t),right(arr,t)};   
    }
    public static int left(int[] arr, int t) {
        if (arr == null || arr.length < 1) {
            return -1;
        }
        int ans = -1;
        int l = 0;
        int r = arr.length - 1;
        while (l <= r) {
            int m = l + ((r - l) >> 1);
            if (arr[m] == t) {
               ans = m;
               r = m - 1;
            } else if (arr[m] < t) {
                l = m +1;
            } else {
                // arr[m] > t
                r = m - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
    public static int right(int[] arr, int t) {
        if (arr == null || arr.length < 1) {
            return -1;
        }
        int ans = -1;
        int l = 0;
        int r = arr.length - 1;
        while (l <= r) {
            int m = l + ((r - l) >> 1);
            if (arr[m] == t) {
               ans = m;
               l = m + 1;
            } else if (arr[m] < t) {
                l = m +1;
            } else {
                // arr[m] > t
                r = m - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
}

时间复杂度O(logN)。

局部最大值问题

OJ见：LeetCode 162. Find Peak Element

思路

假设数组长度为 N ，首先判断 0 号位置的数和 N-1 号位置的数是不是峰值位置。

0 号位置只需要和 1 号位置比较，如果 0 号位置大， 0 号位置就是峰值位置，可以直接返回。

N-1 号位置只需要和 N-2 号位置比较，如果 N-1 号位置大， N-1 号位置就是峰值位置，可以直接返回。

如果 0 号位置和 N-1 在上轮比较中均是最小值，那么数组的样子必然是如下情况：

由上图可知，0 到 1 这段是增长趋势, N-2 到 N-1 这段是下降趋势。

那么峰值位置必在[1...N-2]之间出现。

此时可以通过二分来找峰值位置，先来到中点位置，假设中点为 mid ，如果中点位置的值比左右两边的值都大，即:

arr[mid] > arr[mid+1] && arr[mid] > arr[mid-1]

则 mid 位置即峰值位置，直接返回。

否则，有如下两种情况：

情况一：mid 位置的值比 mid - 1 位置的值小

趋势如下图：

则在[1...(mid-1)]区间内继续上述二分。

情况二：mid 位置的值比 mid + 1 位置的值小

趋势是：

则在[(mid+1)...(N-2)]区间内继续上述二分。

如果最后都没找到，返回 -1 即可。

由于题目已经说明：

对于所有有效的 i 都有nums[i] != nums[i + 1]。

所以，不会有相邻相等的情况。

完整代码如下

public class LeetCode_0162_FindPeakElement {
    public static int findPeakElement(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length == 0) {
            return -1;
        }
        if (arr.length == 1) {
            return 0;
        }
        if (arr[1] < arr[0]) {
            return 0;
        }
        if (arr[arr.length - 1] > arr[arr.length - 2]) {
            return arr.length - 1;
        }
        int ans = -1;
        int l = 1;
        int r = arr.length - 2;
        while (l <= r) {
            int mid = l + ((r - l)>>1);
            if (arr[mid] > arr[mid + 1] && arr[mid] > arr[mid-1]) {
                return mid;
            } else if (arr[mid] < arr[mid + 1]) {
                l = mid + 1;
            } else if (arr[mid] < arr[mid - 1]) {
                r = mid - 1;
            } else {
                // 题目要求下，不会走到这个分支
            }
        }
        return ans;
    }
}

时间复杂度O(logN)。

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