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【图论搜索专题】双向 BFS 模板题

执行
2023-03-31 10:30:56 时间

题目描述

这是 LeetCode 上的「2059. 转化数字的最小运算数」，难度为「中等」。

Tag : 「图论 BFS」、「双向 BFS」

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums，该数组由 互不相同 的数字组成。

另给你两个整数 start 和 goal 。

整数 x 的值最开始设为 start ，你打算执行一些运算使 x 转化为 goal 。

你可以对数字 x 重复执行下述运算：

如果 0 <= x <= 1000，那么，对于数组中的任一下标 i （0 <= i < nums.length），可以将 x 设为下述任一值：

  • x + nums[i]
  • x - nums[i]
  • x ^ nums[i]（按位异或 XOR）

注意，你可以按任意顺序使用每个 nums[i] 任意次。使 x 越过 0 <= x <= 1000 范围的运算同样可以生效，但该该运算执行后将不能执行其他运算。

返回将 x = start 转化为 goal 的最小操作数；如果无法完成转化，则返回 -1 。

示例 1：

输入：nums = [1,3], start = 6, goal = 4

输出：2

解释：
可以按 6 → 7 → 4 的转化路径进行，只需执行下述 2 次运算：
- 6 ^ 1 = 7
- 7 ^ 3 = 4

示例 2：

输入：nums = [2,4,12], start = 2, goal = 12

输出：2

解释：
可以按 2 → 14 → 12 的转化路径进行，只需执行下述 2 次运算：
- 2 + 12 = 14
- 14 - 2 = 12

示例 3：

输入：nums = [3,5,7], start = 0, goal = -4

输出：2

解释：
可以按 0 → 3 → -4 的转化路径进行，只需执行下述 2 次运算：
- 0 + 3 = 3
- 3 - 7 = -4
注意，最后一步运算使 x 超过范围 0 <= x <= 1000 ，但该运算仍然可以生效。

示例 4：

输入：nums = [2,8,16], start = 0, goal = 1

输出：-1

解释：
无法将 0 转化为 1

示例 5：

输入：nums = [1], start = 0, goal = 3

输出：3

解释：
可以按 0 → 1 → 2 → 3 的转化路径进行，只需执行下述 3 次运算：
- 0 + 1 = 1 
- 1 + 1 = 2
- 2 + 1 = 3

提示：

  • 1 <= nums.length <= 1000
  • -10^9 <= nums[i], goal <= 10^9
  • 0 <= start <= 1000
  • start != goal
  • nums

中的所有整数互不相同

常规 BFS

题目给定了从当前值 x 到 x' 的转换规则，同时只有满足 0 <= x <= 1000 的数值才能继续进行转换，因此配合去重，转换次数具有明确上界，使用常规的 BFS 即可求解。需要注意的是，为了避免 TLE，我们应当将「满足 0 <= x <= 1000 才能进行下一步转换」这一规则应用到「限制入队」，而不是简单的应用在「限制拓展」。即如果由 x 拓展出来的 x' ，既不与 goal 相等，也不满足 0 <= x' <= 1000 条件，那么 x' 并无入队必要。

代码：

class Solution {
    public int minimumOperations(int[] nums, int s, int t) {
        Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>();
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        d.addLast(s);
        map.put(s, 0);
        while (!d.isEmpty()) {
            int cur = d.pollFirst();
            int step = map.get(cur);
            for (int i : nums) {
                int[] result = new int[]{cur + i, cur - i, cur ^ i};
                for (int next : result) {
                    if (next == t) return step + 1;
                    if (next < 0 || next > 1000) continue;
                    if (map.containsKey(next)) continue;
                    map.put(next, step + 1);
                    d.addLast(next);
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}
  • 时间复杂度：令 n 为 nums 的长度，常数 C 为队列内元素的值域大小（本题值域范围为 [0, 1000] ）。整体复杂度为O(C * n)
  • 空间复杂度：O(C)

双向 BFS

这还是一道很好的双向 BFS 模板题。

之前我没有找到这样的模板题，不得已使用了 LeetCode 难度标记为「困难」的 127. 单词接龙 来作为双向 BFS 的入门题。

❝PS. 事实上，那道题也不难，如果你还没做过 127. 单词接龙，在学习完本题解后，可以尝试做一下。❞

回到本题，我们可以同时从两个方向进行搜索：

  1. 正向搜索：使用队列 d1 实现从 start 到 goal 的通路搜索，为满足「0 <= x <= 1000 」的条件限制，我们需要进行「出队检查」，只有满足「0 <= x <= 1000 」的出队元素，才进行下一步的拓展；
  2. 反向搜索：使用队列 d2 实现从 goal 到 start 的通路搜索，为满足「0 <= x <= 1000 」的条件限制，我们需要进行「入队检查」，只有下一个拓展元素 next 满足「0 <= x <= 1000 」才能进行入队。同时，我们使用两个「哈希表」分别记录两个搜索方向中出现过的结果。一旦在某条搜索通路中搜到了另一条搜索通路中出现过的结果，说明找到了一条合法的搜索通路，返回该通路长度。

代码：

class Solution {
    int[] nums;
    public int minimumOperations(int[] _nums, int s, int t) {
        nums = _nums;
        Deque<Long> d1 = new ArrayDeque<>(), d2 = new ArrayDeque<>();
        Map<Long, Integer> m1 = new HashMap<>(), m2 = new HashMap<>();
        d1.addLast(s * 1L);
        d2.addLast(t * 1L);
        m1.put(s * 1L, 0);
        m2.put(t * 1L, 0);
        while (!d1.isEmpty() && !d2.isEmpty()) {
            if (d1.size() < d2.size()) {
                int ans = update(d1, m1, d2, m2, true);
                if (ans != -1) return ans;
            } else {
                int ans = update(d2, m2, d1, m1, false);
                if (ans != -1) return ans;
            }
        }
        return -1;
    }
    int update(Deque<Long> d1, Map<Long, Integer> m1, Deque<Long> d2, Map<Long, Integer> m2, boolean flag) {
        long cur = d1.pollFirst();
        int step = m1.get(cur);
        for (int i : nums) {
            if (flag) {
             // 正向搜索：进行出队检查，只有出队元素符合条件，才能使用出队元素往下拓展
                if (0 <= cur && cur <= 1000) {
                    long[] result = new long[]{cur + i, cur - i, cur ^ i};
                    for (long next : result) {
                        if (m2.containsKey(next)) return step + 1 + m2.get(next);
                        if (!m1.containsKey(next)) {
                            d1.addLast(next);
                            m1.put(next, step + 1);
                        }
                    }
                }
            } else {
                // 反向搜索：进行入队检查，只有拓展元素符合条件，才能将拓展元素入队
                long[] result = new long[]{cur + i, cur - i, cur ^ i};
                for (long next : result) {
                    if (0 <= next && next <= 1000) {
                        if (m2.containsKey(next)) return step + 1 + m2.get(next);
                        if (!m1.containsKey(next)) {
                            d1.addLast(next);
                            m1.put(next, step + 1);
                        }   
                    }
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}
  • 时间复杂度：令 n 为 nums 的长度，常数 C 为队列内元素的值域大小（本题值域范围为 [0, 1000] ）。整体复杂度为O(C * n)
  • 空间复杂度：O(C)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.2059 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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