数学基础从高一开始5、充分必要条件

目录

数学基础从高一开始5、充分必要条件

概念复习

命题

真命题与假命题

命题的形式

概念定义

例1：

例2

练习

总结

概念复习

命题

命题:把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题。

真命题与假命题

真命题与假命题:判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。

命题的形式

若P，则q”的形式是数学命题的一般形式其中称p为命题的条件，称q为命题的结论。

下列“若p， 则q”形式的命题中，哪些是真命题?哪些是假命题?

(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形;（真命题）

(2) 若两个三角形周长相等，则这两个三角形全等;（假命题）

(3)若(3)若x^{2} -4x+3=0，则x=1;（假命题）

(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a//b。（真命题）

概念定义

“若P，则9”为真命题，是指由P通过推理可以得出q，，记作p>q,且称P为9的充分条件，q为P的必要条件。

(1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形;真命题

“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件，“这个平行四边形是菱形”是“平行四边形的对角线互相垂直”的必要条件。

(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a//b.真命题

“平面内两 条直线a和b均垂直于直线l”，是“a/ /b”的充分条件，“a/ /b”是“平面内两条直线a和b均垂直于直线l”的必要条件。

“若p，则9”为真命题，是指由P通过推理可以得出q，记作p>q，且P称为q的充分条件，q为P的必要条件。

若P成立，则q一定成立;

若q不成立，则P一定不成立;

q成立是P成立必不可少的条件，称为必要条件。

“若p，则9”为真命题，是指由P通过推理可以得出q，记作p=>q，且P称为q的充分条件，q为P的必要条件。

例1：

下列“若P，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件?

(1) 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形; 结论:命题中的p是q的充分条件。 (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似; 结论:命题中的p是q的充分条件。 (3) 若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直; 结论:命题中的p是q的充分条件。 (4)若x^{2} =1，则x=1 ; x^{2} =1=> x=1或x=-1。 结论:命题中的p不是q的充分条件。 (5) 若a= b则ac=bc ; 结论:命题中的p是q的充分条件。 (6)若x,y都为无理数，则xy为无理数; 反例: x=y=\sqrt{2} →xy=2. 结论:命题中的p不是q的充分条件。

“若p，则q”形式的命题为真命题时，

命题中的p是q的充分条件。

但q的充分条件并不一定唯一。

例2

下列“若P，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件?

(1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等;

结论:命题中的q是p的必要条件。

(2) 若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例;

结论:命题中的q是p的必要条件。

(3)四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形;

结论:命题中的q不是P的必要条件。

(4)若x=1，则 x^{2} =1;

结论:命题中的q是P的必要条件。

(5) 若ac=bc， 则a=b ;此命题为假命题.

结论:命题中的q不是p的必要条件。

(6)若xy为无理数，则x,y都为无理数;

反例: ry=\sqrt{2} ，x=l,y=\sqrt{2} 。

结论:命题中的q不是p的必要条件。

“若p，则q”形式的命题为真命题时，命题中的q是p的必要条件.但p的必要条件并不一定唯一。

练习

相似三角形判定定理:

若两个三角形三边成比例，则这两个三角形相似; 体会判定定理与充分条件的关系。

平行四边形性质定理:

若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等; 体会性质定理与必要条件的关系。

练习1:

若两个角是对顶角，则这两个角相等.

对顶角性质定理：

“这两个角相等”是“两个角是对顶角的必要条件。

体会性质定理与必要条件的关系。

练习1变式若两个角相等，则这两个角是对顶角。

假命题

“这两个角相等”不是“两个角是对顶角的充分条件。

练习2若平行四边形对角线相等，则这个平行四边形是矩形.

矩形判定定理

平行四边形对角线相等”是“ 这个平行”。

四边形是矩形的充分条件.

体会判定定理与充分条件的关系.

总结

初步理解充分条件、必要条件的含义;

体会判定定理与充分条件、性质定理与必要条件的关系;

在新的语境下梳理初中重要的数学知识，提升逻辑推理的学科素养。