提供了编程的基础技术教程

zl程序教程

您现在的位置是：首页 >  其他

当前栏目

功的互等定理

状态
2023-02-26 09:47:58 时间

1 定理证明

如果变形体满足线弹性小变形的假设条件，那么，变形体上处于状态1时所有的外力，在状态2相应的位移方向上所做的虚功之和，等于状态2时所有的外力，在状态1相应的位移方向上所做的虚功之和。这就是功的互等定理，用公式表示就是

W_{12}=W_{21}

其证明方法有多种，铁木辛柯的《材料力学》有证明方法。这里构造一种简单易懂的方法来证明之。考虑同一结构的两个简单状态1和2，如图1所示

▲图1

状态1中荷载P1在位置1与位置2分别产生了两个位移

\Delta_{11}

和

\Delta_{21}

，状态2中荷载P2在位置2与位置1分别产生了两个位移

\Delta_{22}

和

\Delta_{12}

.假定状态1和状态2彼此独立，令状态1中全部外力在状态2中相应位移方向做功，则有

W_{12}=P_1 \Delta_{12}

再令状态2中全部外力在状态1中相应位移方向做功，则有

W_{21}=P_2 \Delta_{21}

记

M_1

为状态1的弯矩，

M_2

为状态2的弯矩. 由变形体的虚功原理，有

\begin{split} W_{21}&=P_1 \Delta_{12}\\ &= \int_0^l M_1 d\theta_2 \\ &= \int_0^l M_1 \frac {M_2}{EI} dx \\ \end{split}
\begin{split} W_{12}&=P_2 \Delta_{21}\\ &= \int_0^l M_2 d\theta_1 \\ &= \int_0^l M_2 \frac {M_1}{EI} dx \\ \end{split}

比较两式，有

W_{12}=W_{21}

值得注意的是，不止是功的互等定理，位移互等定理，反力互等定理也由变形体的虚功原理衍生而来。

2 应用

例1

图2所示，已知抗弯刚度EI为常数，A端发生向下的支座位移Δ，求由此引起梁中点C的竖向位移。

▲图2

首先，构造两个状态。

▲图3

▲图4

由图3可知，状态1没有外力，故

W_{21}=0
W_{12}=1 \times \Delta_{c} - \frac {1}{2} \times \Delta

由此可得

\Delta_{c} =\frac {1}{2} \Delta

例2

图5所示，已知梁跨度为L，抗弯刚度EI为常数，A端发生顺时针的转动

\theta

，B端发生向下的支座位移Δ.求由此引起梁中点C的竖向位移.

▲图5

首先，构造两个状态。

▲图6

▲图7

由图可知，状态1没有外力，故

W_{21}=0
W_{12}=1 \times \Delta_{c} - \frac {5}{16}\times \Delta - \frac {3}{16}L\times \theta

由此可得

\Delta_{c} =\frac {5}{16} \Delta + \frac {3}{16}L \theta

相关文章