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Leetcode No.188 买卖股票的最佳时机 IV（动态规划）

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2023-04-18 16:59:15 时间

一、题目描述

给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：
 输入：k = 2, prices = [2,4,1]
 输出：2
 解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
示例 2：
 输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
 输出：7
 解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
      随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
提示：
 0 <= k <= 100
 0 <= prices.length <= 1000
 0 <= prices[i] <= 1000

二、解题思路

本题是123题的进阶版，123题要求至多有2次交易，本题要求至多有k次交易。

Leetcode No.123 买卖股票的最佳时机 III（动态规划）_公众号：算法攻城狮-CSDN博客

动规五部曲，分析如下：

1、确定dp数组以及下标的含义

使用二维数组 dp[i][j] ：

第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]

j的状态表示为：

0 表示不操作 1 第一次买入 2 第一次卖出 3 第二次买入 4 第二次卖出 ..... 大家应该发现规律了吧 ，除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。

题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了。

2、确定递推公式

还要强调一下：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。

达到dp[i][1]买入状态，有两个具体操作：

操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i] 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1] 选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][0]);

同理dp[i][2]卖出也有两个操作：

操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i] 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2] 所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][i] + prices[i], dp[i][2])

同理可以类比剩下的状态，代码如下：

for (int j = 0; j < k*2 - 1; j += 2) {
    //买入
    dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
    //卖出
    dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}

3、dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

首先卖出的操作一定是收获利润，整个股票买卖最差情况也就是没有盈利即全程无操作现金为0，

从递推公式中可以看出每次是取最大值，那么既然是收获利润如果比0还小了就没有必要收获这个利润了。

所以dp[0][2] = 0;

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？

不用管第几次，现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];

所以同理可以推出dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]

代码如下：

for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
    dp[0][j] = -prices[0];
}

在初始化的地方同样要类比j为偶数是卖、奇数是买的状态。

4、确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

5、举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。

最后一次卖出，一定是利润最大的，dp[prices.size() - 1][2 * k]即红色部分就是最后求解。

最后一次卖出，一定是利润最大的，dp[prices.size() - 1][2 * k]即红色部分就是最后求解。

三、代码

public class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices.length == 0){
            return 0;
        }
        int len = prices.length;
        //第0天没有操作,dp[0][0]=0
        int[][] dp = new int[len][k*2 + 1];
        // dp数组的初始化，奇数是买入
        for (int i = 1; i < k*2; i += 2) {
            dp[0][i] = -prices[0];
        }
        //天数
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            //股票状态: 奇数表示第k次交易持有/买入, 偶数表示第k次交易不持有/卖出, 0表示没有操作
            for (int j = 0; j < k*2 - 1; j += 2) {
                //买入
                dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
                //卖出
                dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
            }
        }
        return dp[len - 1][k*2];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int k = 2;
        int[] prices = {2,4,1};
        Solution solution=new Solution();
        System.out.println(solution.maxProfit(k,prices));
    }
}

四、复杂度分析

时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组 prices 的长度。

空间复杂度：O(n*k)。

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