目录

 

零，前言

一，时间复杂度的概念理解

二，时间复杂度的计算

三,常见的时间复杂度

1,常数阶

2,线性阶

3,对数阶

4,指数阶

5,根号阶

6,阶乘阶

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零，前言

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      时间复杂度衡量着一个程序的好坏，时间复杂度的估算是算法题的重中之重。但是很多初学者对于时间复杂度缺少一种概念，对于复杂程序的估算难以理解，理解不了时间复杂度，算法学习无从下手 。因此为了解决对时间复杂度的理解难题，本文将从简单到复杂介绍时间复杂度的计算方法，以及常见的时间复杂度，足以应付百分之八十的算法题。                                                   

一，时间复杂度的概念理解

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    一般来说要确定算法的运行时间，只有你将他拿到机器上去测试一下才能确定，但是过于麻烦，那么有没有一种方法能够估算该算法的运行时间呢？因此引入了时间复杂度这个概念。

    时间复杂度是一种函数，定量地描述了该算法运行的时间。既然是一种函数，就涉及到自变量与因变量。因变量代表是时间复杂的规模，自变量是时间复杂度的执行时间。这里的执行时间并不是秒，分钟这类的具体时间  ，它表示的是一种“执行次数”。要想计算时间复杂度首先得找到该算法中的循环，算法中循环执行的次数就是算法的时间复杂度 。

     算法的时间复杂度的具体表示为：用大写的 O 来体现算法时间复杂度如O（f（n）），称之为 大 O 记数法。

 

二，时间复杂度的计算

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      一，给定 n个元素 的数组a[n]，求其中 奇数 有多少个。

    判断一个数是偶数还是奇数，只需要求它除上 2 的余数是 0 还是 1，把所有数都判断一遍，并且对符合条件的情况进行计数，最后返回这个计数器就是答案，需要遍历所有的数，因此代码为：

int count(int n, int a[]) {
    int cnt = 0;
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        if(a[i] % 2)
            ++cnt;
    }
    return cnt;
}

由代码段知，该函数中只有一层for循环，而该循环执行了n次，因此时间复杂度为O（N）；

二，求下面函数的时间复杂度

int fun(int n)
{
   int cnt = 0;
  for(int i = 0;i < n;i++)
   {
     for(int j = 0; j<n; j++)
      {
        cnt++; 
      }
   }//两层循环，每次循环n次，因此为n*n


  for(int k = 0; k<n; k++)
   {
     ++cnt;
   }//一层循环，循环n次
  
  for(int l = 0;l<10;l++)
   {
     ++cnt;
   }//一层循环，循环10次

return cnt;
}

由注释，可列出计算时间的复杂度的表达式：n*n +n +10。但是我们能写成O(N*N+N+10)吗？我们知道，对于时间复杂度我们不需算出精确的数字，只需要算出这个算法属于什么量级即可，我们又如何知道它属于哪个量级呢？即，我们将字母取无穷大，例如本题中字母为n，n取无穷大，而十对于n取无穷大后没有影响，因此10可以舍去，原表达式化为n*n+n，再转化为n*(n+1)，由于n为无穷大，因此-1也是没有影响的，原式就变成了O(N*N)。这就是大O渐近表示法，只是一种量级的估算，而不是准确的值。

由此可以得出计算时间复杂度的一般规律(用大O表示法)

1.去除表达式中所有加法常数

2.修改的表达式中只保留最高阶项,因为只有它对最终结果产生影响

3.如果最高阶项系数存在且不是1,则将其系数变为1,得出最后的表达式

三，计算冒泡排序的时间复杂度

void bubblesort(int* a,int n)
{
   assert(a);
for(int end = n; end>0; end--)
    {
      int exchange = 0;
       for(int i = 1; i<end; i++)
           {
              if(a[i-1]>a[i])
              {
                swap(&a[i],&a[i-1]);
                 exchange = 1;
               }
            }
    
       if(exchange==0)
           break;
     }
}

例如在这个冒泡排序中,我们需要将无序数组转化为有序数组的一种算法,它并不像上题一样是简单的双层嵌套循环,很容易想到它的循环次数是一个等差数列,第一次循环n-1次,第二次n-2次.....一直到1.因此为n-1+n-2+n-3.....+1 = n*(n-1)/2,由上面所说的规律时间复杂度为O(N*N).

  通过上面的例子我们看出,大O渐近表示法去掉了对结果影响不大的项,简洁明了地表示出了时间复杂度.在实际情况中一般只关注算法的最坏运行情况.

   例如在上述冒泡排序中,如果给定的数组就已经是有序的了,那么就是它的最好情况,时间复杂度为O(N).但是如果有非常多的数据很显然我们看不出它到底是否为最好情况,所以我们必须用最坏的期望来计算所以它是O(N*N).

四,

int fun(int n)
{
  int i = 0;int cnt = 0;
   for( i; i<100;i++)
     {
       cnt++;
      }
  return cnt;
}
       

 此时时间复杂度为O(1),这里的1不是指一次,而是常数次,该循环执行了100次,不管n多大,他都执行100次,所以是O(1).

三,常见的时间复杂度

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1,常数阶

函数内循环为常数次或者没有循环,例如上面第四题,时间复杂度为O(1).

2,线性阶

就像上面第一题一样,只有一层循环,时间复杂度随n的增大线性增加,函数在图像上表示为一条经过原点的直线,O(N).

3,对数阶

例题:给定 n 个元素的升序有序数组 a[n] 和整数k，求 k 在数组中的下标，不存在输出 -1。

        这道题是经典的查找问题,一般最快的情况是使用二分查找

int binary(int n, int a[], int k) 
{
	int left = 0, right = n - 1;
	while(l <= r) {
		mid = (l + r)/2;
		if(a[mid] == k) 
		    return mid;
		else if(a[mid] < k)
			right = mid + 1;
		else
			left = mid + 1;
	}
	return -1;
}

left和right指数组最左边和最右边的下标.每次将这个数组砍一半,求出mid中间下标.  由于是升序排列,如果中间下标代表的数大于给定的数k,那么k必定在中间下标的左边.  那么就将mid+1的值赋给right,反之则将mid+1的值赋给left,每次将数组砍一半直到找到数k为止.

n->n/2->n/4->n/8.....知道n变为1.

这个循环次数是对数的值,很显然是以二为底,数组个数n的对数O(log2n).

4,指数阶

指数阶一般是算法题的暴力解法,一般是多层循环的嵌套,例如上面题二中,最大是两层n次循环的嵌套因此`时间复杂度为O(N^2),n的平方次,要是三层n次循环的嵌套则为O(N^3).

5,根号阶

例题:给定一个数 n,问 n 是否是一个素数.

常见的方法就是暴力法,n和每个小于n大于1的数相除如果都除不进,则n为素数.不过这次我们选择更为简单的方法例如:

bool isPrime(int n) {
    int i;
    if(n == 1) {
        return false;
    }
    int sqrtn = sqrt(n);
    for(int i = 2; i <= sqrtn; ++i) {
        if(n % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

只需要枚举所有小于根号n的数,使n与其相除 ,这样时间复杂度就小了很多.那为什么只需要枚举小于根号n个数呢?

因为假设n是数k的因子,那么n^2也必定是数k的因子,所以不需要枚举小于k这么多数,只需要枚举根号n个数就可以了.

6,阶乘阶

阶乘阶的讨论没有意义,阶乘级的时间复杂度一般在刷题时过不了,一般会用动态规划代替.