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第四章：前缀和、差分（数列）

2023-04-18 16:13:18 时间

前缀和差分

一、前缀和

1、 什么是前缀和

在解释什么是前缀和之前，我们先回顾一下高中学过的数列：在这里插入图片描述
我们这里所说的前缀和其实就是我们在高中学的数列中的Sn(前n项和)，只是我们这里需要将S1 , S2 , S3 , S4 …… Sn当作一个新的数组。

为了这个式子的高度统一性，我们的S0和a0都是不存储数据的，将其设置为0，这样当n等于1的时候，也满足上面的式子。

2、 前缀和的作用

我们看下面这段数学推导：
请添加图片描述

如果我们想特定几项an的和，那么我们就需要取遍历数组an,然后才能求出最终的和，我们发现这种情况的时间复杂度是O(N)。
但是我们使用前缀和Sn去计算的话，我们发现只需要一个简单是式子，其时间复杂度是O(1)。因此，我们便能够发掘出前缀和的作用：更快地求解数列的和
而这除了是利用了数学中的数列知识，更是一种用空间换时间的重要思想。

3、 前缀和的例题和模板

（1）一维数组的前缀和

其实前缀和就是一个公式，因此其模板是很简单的。
在这里插入图片描述

C++版

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int arr[N];
int S[N];
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&arr[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)S[i]=S[i-1]+arr[i];
    
    while(m--)
    {
        int l,r;
        scanf("%d %d",&l,&r);
        printf("%d
",S[r]-S[l-1]);
    }
    return 0;    
}

C版

#include<stdio.h>
const int N=1e6+10;

int main()
{
	int arr[N];
	int S[N];
    int n,m;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&arr[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)S[i]=S[i-1]+arr[i];
    
    while(m--)
    {
        int l,r;
        scanf("%d %d",&l,&r);
        printf("%d
",S[r]-S[l-1]);
    }
    return 0;    
}

（2）二维数组的前缀和

a.思路：

在了解思路之前，我们应该先明白，什么是二维数组的前缀和，即二维数组的前n项和所指的是哪几项的和？
请添加图片描述
如图中所示，二维数组的前缀和就是图中方形所覆盖的an的和，包括边界！！！！

那么我们如何利用递推公式写出前缀和呢？
如下图所示：
在这里插入图片描述

那么在理解了二维数组的前缀和的概念后，我们看下面这个问题：
我们如何计算这个紫色方形范围内的an的面积呢？
请添加图片描述

图中所示的求法类似于我们高中所学的概率内容中的容斥原理。
即我们先减去两部分，然后再加上重复减去的部分。但是我们要时刻注意边界问题，图中的式子之所以减一，就是因为紫色方形的边界也要算到前缀和中。

b.题目和模板：

题目：
在这里插入图片描述

C++版
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int a[N][N];
int S[N][N];
int main()
{
    int n,m,q;
    scanf("%d %d %d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            S[i][j]=S[i-1][j]+S[i][j-1]-S[i-1][j-1]+a[i][j];
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d %d %d %d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d
",S[x2][y2]-S[x2][y1-1]-S[x1-1][y2]+S[x1-1][y1-1]);
    }
    return 0;
}
C版
#include<stdio.h>
const int N=1010;

int main()
{
	int a[N][N];
	int S[N][N];
    int n,m,q;
    scanf("%d %d %d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            S[i][j]=S[i-1][j]+S[i][j-1]-S[i-1][j-1]+a[i][j];
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d %d %d %d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d
",S[x2][y2]-S[x2][y1-1]-S[x1-1][y2]+S[x1-1][y1-1]);
    }
    return 0;
}

二、差分

1、什么是差分？

我们知道前缀和是一个数组中的前N项和，其实差分就是原数组an。

因此我们就能够发现，一个数列当中，an是差分，an的前n项和sn是前缀和。

2、差分有什么作用？

我们通过前缀和可以在时间复杂度为O(1)的情况下，计算出几项的和。那么差分则可以在时间复杂度为O(1)的情况下，给数列中的某几项都加上常数C。假设我们不适用差分的话，我们需要遍历原数组然后逐一加上常数C,此时的时间复杂度就是O(N)。

由此我们就能够总结出差分的作用：在时间复杂度是O(1)的前提下，将数组中的某几项加上特定的常数C。那么怎么加呢？我们看下面的内容。

3、一维差分：

（1）思路：

我们应该如何实现上面所说的差分的作用呢？我们看下面这张图片：
请添加图片描述
由上图可知：
我们只需要将bn中的第L项加上C,第r+1项减去C即可。这样我们在通过bn算an的时候，就能够在L到r的闭区间上的an都加上常数C。但此时的时间复杂度仅仅是O(1)。

（2）题目和模板

在这里插入图片描述

C++版

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100001;
int a[N];
int b[N];
int main()
{
	//读取数据
    int n,m;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);
    //构造b数组:使得ai是bi的前缀和
    for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=a[i]-a[i-1];
    
    while(m--)
    {
    	//读取插入的区间和数据
        int l,r,c;
        scanf("%d %d %d",&l,&r,&c);
        b[l]+=c;
        b[r+1]-=c;
    }
    //利用b数组打印a数组
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",b[i]+=b[i-1]);
    return 0;
}

C版

#include<stdio.h>

const int N=100001;

int main()
{
    int a[N];
    int b[N];
    int n,m;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);
    for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=a[i]-a[i-1];
    
    while(m--)
    {
        int l,r,c;
        scanf("%d %d %d",&l,&r,&c);
        b[l]+=c;
        b[r+1]-=c;
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",b[i]+=b[i-1]);
    return 0;
}

（3）优化

这里我们在介绍一种不用特意构造b数组的方法。
我们假设an数列初始化全为0，那么此时我们输入a1的时候，就相当于在[1,1]上插入一个a1。同理，an就相当于在[n,n]上插入一个an。我们就能够采用这种方式来初始化bn数组，如果不理解的话，大家可以自己写几个例子。

C++版

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N],b[N];

void insert(int l,int r,int c)
{
    b[l]+=c;
    b[r+1]-=c;
}

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {   
        scanf("%d",a+i);
        insert(i,i,a[i]);
    }
    while(m--)
    {
        int l,r,c;
        scanf("%d %d %d",&l,&r,&c);
        insert(l,r,c);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",b[i]+=b[i-1]);
    return 0;
}

C版

#include<stdio.h>
int a[100010],b[100010];
void insert(int l,int r,int c)
{
    b[l]+=c;
    b[r+1]-=c;
}

int main()
{
   
    int n,m;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {   
        scanf("%d",a+i);
        insert(i,i,a[i]);
    }
    while(m--)
    {
        int l,r,c;
        scanf("%d %d %d",&l,&r,&c);
        insert(l,r,c);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",b[i]+=b[i-1]);
    return 0;
}

4、二维差分：

（1）思路：

我们先上下面的图示：
请添加图片描述
先解决第一个问题，为什么b[i,j]+c后是右下角的数列元素加c呢？其实很好理解，因为an是bn的前n项和，因此只有右下角的an计算时，才会包括该点。因此，b[i,j]+c后影响的是右下角。
然后我们就可以根据上图中公式使得黄色区域的an都加上C。

（2）题目和模板

在这里插入图片描述

C++版

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=1010;
int a[N][N];
int b[N][N];

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
    b[x1][y1]+=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}

int main()
{   
    int n,m,q;
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            insert(i,j,i,j,a[i][j]);
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2,c;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
        insert(x1,y1,x2,y2,c);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            a[i][j]=a[i][j-1]+a[i-1][j]-a[i-1][j-1]+b[i][j];
            printf("%d ",a[i][j]);
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

C版

#include<stdio.h>

int a[1010][1010];
int b[1010][1010];

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
    b[x1][y1]+=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}

int main()
{   
    int n,m,q;
    scanf("%d %d %d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            insert(i,j,i,j,a[i][j]);
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2,c;
        scanf("%d %d %d %d %d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
        insert(x1,y1,x2,y2,c);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            a[i][j]=a[i][j-1]+a[i-1][j]-a[i-1][j-1]+b[i][j];
            printf("%d ",a[i][j]);
        }
        printf("
");
    }
    return 0;
}

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